Mathe Probeklausur

[Paolo]

Kann mir jemand mal bitte den Lösungsansatz zur 1. Aufgabe der Probeklausur geben?! Ich steh irgendwie auf dem Schlauch. Wie bestimmt man denn aus gegebenen Nullstellen das Charakteristische Polynom? Beim Koeffizientenvergleich komm ich da nicht weiter.

[derTaucher]

Du liest die nullstellen ab und dann machst du aus (x²+4)(x-3)x die geforderte funktion(die x sind durch lamda zu ersetzen

[Paolo]

ja und wie kommt man denn auf eben diese Gleichung die du da aufgeschrieben hast! Aus den C1-C4 ist doch nur ersichtlich, dass es sich hierbei um eine Gleichung 4. Grades handelt! und woher nimmst du die +4 und die -3...

[derTaucher]

schau mal im skript vom vorigen semester da ist bei 14.5.8 einigermaßen ersichtlich wie man von der lösung auf die nullstellen kommt und die setzt du dann in das bekannte (x-x0) schema ein und da du sehen wirst das da 2 komplexe lösungen dabei sind musst du dann auf (x²+4) umstellen

mal noch was anderes ich häng grad bei 2. und komm nich auf y2

[Paolo]

was heißt denn bei dir y2? meinst du den Eigenwert oder den Eigenvektor?

[derTaucher]

nee ich mein das y(t) also halt den 2. wert der über so eine komische formel berechnet werden muss da komm ich nihc drauf

[Paolo]

Also du hast ja ein DGL System was du in der Form (x\',y\')=[A]*[x,y] schreiben kannst!
Dann bildest du die Eigenwerte von [A] und daraus die Eigenvektoren diese bilden dann eine neue Matrix die du mit den Ansatz c1*e^Eigenwert1*x und c2^Eigenwert2*x multiplizierst...
daraus erhälst du dann die Lösung für [x,y]
Alles klar...?

[derTaucher]

scheiss eigenwerte

[derTaucher]

das problem ist das das ich bei dem eigenvektor kein lösbares gleichungssystem mehr hab das kürzt sich einfach raus

[Paolo]

Da stimmt was nicht! Du hast als matrix[A]: [1 -2, 1 4] (hab das mit den Formeln noch net so raus...
Die Ew erhälst du, indem du die Determinante von [A]-x*[E] bildest!
x=lamda, [E]=Einheitsmatrix! da solltest du x1=3 und x2=2 erhalten

[Paolo]

Die Eigenvektoren erhält man indem man Bildet: ([A]-x*[E])*[r]=[0]
[A]-x*[E] für x=3 ist [-2 -2, 1 1]
-> 2. Zeile: 1*r1+1*r2=0
-> r1=-r2
-> [r]=[1 -1]
und dasselbe nochmal mit dem x2=2!

[derTaucher]

ja habs inzwischen verstanden aber anders mach das mit der formel die die im skript angegeben haben aber danke trotzdem

[hanspeter]

[quote]die setzt du dann in das bekannte (x-x0) schema ein [/quote]

öhhm könntest du mir nochmal erklären wie man das schema aufstellt und wies hier aussieht?
thx

[hanspeter]

ok hat sich erledigt, is mir doch wieder eingefallen:

(x-2i)(x+2i)(x-3)(x-0)=0

oder?

[derTaucher]

also als erstes liest du die lösung der charakteristischen gleichung ab dass sind logischerweise NST dieser
hier also lamda1=3
lamda2=0
lamda3/4=+ - 2i (du findest das wie gesagt im skript vom 2.Sem auf seite 73/74)
da du mit (x-x0) NST darstellen kannst und die so verketten kannst schreibst du dann einfach
(x-3)*x*(x²+4)=0 ich denke es ist recht einleuchtend (wenn man es einmal weis) dass (x²+4) die beiden komplexen NST darstellt
dann kannst du ausmultiplizieren und die potenz des x ist die anzahl der ableitungen der homogenen diffenentialgleichung

[derTaucher]

wohl war

oh mein gott was für eine rechtscheibung
ich mein natürlich

wol war

*g*

[hanspeter]

kanst mir noch ne tipp geben zu der partikulären lösung?
ich werd aus dem skript nich ganz schlau wie man aus dem y das lambda macht

ganz konkret 14.4.5
y\'\'+y\'=x^2 wird zu
lambda^2+lambda=0

[almsen]

rotes licht !

das was du geschrieben hast mit den lamba gehört zu homogenen lösung!

y\'\'+y\'=0

jetzt setzt du einfach y=e^(lambda * x) ein und tada :

lambda^2+lambda=0

Die partik.Lösung am besten über den Störgliedansatz machen und auf Resonanz prüfen, einsetzen , konstanten bestimmen und fertig

[derTaucher]

naja es wird zuerst nur der homogene teil bestimmt damit man weis wo dort die nullstellen liegen. dann schreibst du b und n auf und schaust bei 14.4.4 welcher fall eingetroffen ist das qn ist halt ein polynom n-ten Grades

[derTaucher]

so schnell springen is blöd ich weis aber folgendes ich wees nich wie ich bei 4a die Residuen bestimmen kann alle lösungsmethoden die mir grad einfallen gehen nich weil oben auch immer 0 wird

[Paolo]

Du musst, bei 4.a den Cos in eine Taylorreihe um 0 entwickeln dann sich die anderen Werte im Zähler raus und du kannst noch mit z^15 Kürzen! Dann erhälst du das Residuum! Hat mich auch ne Weile gekostet... hinterhältig aber doch einleuchtend!

[derTaucher]

stimmt aber darauf wär ich nich gekommen

[derTaucher]

aber eigentlcih meintest du den Sin glaub ich

[derTaucher]

hasst du die 4c gemacht hab davon auch keine ahnung
oder zumindest keinen ansatz

[Paolo]

Bei 4.c) Substituiere z mit t!
-> z=t^2-i*t nach dt ableiten
-> dz= Ableitung*dt
-> einsetzen und uber die Grenzen von t integrieren!