Matheklausur (ET/IST) 1, Lösungen f. Probeklausur

Kane · Beitrag von **Kane** » 11.02.2007 15:20

Hallo,
da sicher noch ein paar mehr Leute die Probeklausur gerechnet haben bzw. noch rechnen wollen, stelle ich hier mal meine Lösungen, inkl. Lösungsweg ein. Ich fange mal mit den ersten beiden Aufgaben an. Der Rest kommt, wie ich Lust und Zeit habe, vielleicht ergänzen ja aber auch ein paar andere einige Aufgaben.

Los geht\'s:

Nr. 1
a)
$M_1 \\cap M_2 = \\{ x \\in \\mathbb{R} \\mid -1 \\leq x \\frac{3}{2} \\) \\} \\\\ = \\{ x \\in \\mathbb{R} \\mid -1 \\leq x < \\frac{1}{2} \\vee \\frac{3}{2} < x < 2 \\}$

$M_1 \\cup M_3 = \\{ x \\in \\mathbb{R} \\mid -1 \\leq x < 2 \\vee x \\in \\{ 1 , \\frac{3}{2} , 2 \\} \\} \\\\ = \\{ x \\in \\mathbb{R} \\mid -1 \\leq x \\leq 2 \\}$

$\\overline{ M_2 } \\setminus M_3 = \\{ x \\in \\mathbb{R} \\mid \\frac{1}{2} \\leq x < 1 \\vee 1 < x < \\frac{3}{2} \\}$

b)
$P(M_3) = \\{ \\compose{O}{/} \\} , \\{ 1 \\} , \\{ \\frac{3}{2} \\} , \\{ 2 \\} , \\{ 1, \\frac{3}{2} \\} , \\{ 1,2 \\} , \\{ \\frac{3}{2}, 2 \\} , \\{ 1, \\frac{3}{2}, 2 \\}$
c)
$M_1 \\times M_2 = \\{ \$ m_1 , m_2 \$ \\mid m_1 \\in M_1 \\wedge m_2 \\in M_2 \\}$ Und dann die entsprechende Zeichnung dazu.

Nr. 2
a)
$w = \\frac{5}{-1 + 2i} + i \\\\ = \\frac{\$5 + 0i\$\$-1 - 2i \$}{\\mid\$-1 + 2i \$^2 \\mid} + i \\\\ = \\frac{-5 - 10i}{5}+i \\\\ = -1 - i$
Und jetzt noch den Winkel $\\varphi$ und den Betrag $r$ bestimmen:
$r = \\mid w \\mid = \\sqrt{ \$-1\$^2 + \$-1\$^2} = \\sqrt{2}$
$\\cos \\varphi = \\frac{x}{r} = \\frac{-1}{\\sqrt{2}}; \\sin \\varphi = \\frac{y}{r} = \\frac{-1}{\\sqrt{2}} \\\\ \\Rightarrow \\varphi = \\frac{5* \\pi}{4} = 225^\\circ$

b)
Da man den Rechenweg angeben soll, ist aus meiner Sicht die Polarform die beste Variante, das kann man praktisch im Kopf rechnen:
$w^{12} = sqrt{2}^{12}*\$ \\cos \\frac{5 * \\pi}{4}*12 + i \\sin \\frac{5 * \\pi}{4}*12\$ \\\\ = \$2^{\\frac{1}{2}}\$^{12} * \$ \\cos 15\\pi + i \\sin 15\\pi\$ \\\\ = 2^6 * \$ -1 + i * 0 \$ \\\\ = -64 + 0i$
$\\varphi$ und $r$ habe ich aus Teil a dieser Aufgabe übernommen. Das \"+ 0i\" habe ich noch dazugeschrieben, weil in der Aufgabenstellung explizit die Angabe von Real- und Imaginärteil gefordert war.

c)
Zuersteinmal definiere ich: $z = u + vi$ , dann kann man aus der Gleichung $(2 - 3i) * z + (2 + 3i) * \\overline{z} - 12 = 0$ folgendes machen:
$(2 - 3i) * (u + vi) + (2 + 3i) * (u - vi) = 12 \\\\ 2u + 2vi - 3iu - 3vi^2 + 2u - 2vi +3iu - 3vi^2 = 12 \\\\ 4u + 6v = 12 \\mid :2 \\\\ 2u + 3v = 6 \\\\ \\Rightarrow v = 2 - \\frac{2}{3}u \\\\ \\Rightarrow z = u + (2 - \\frac{2}{3}u)i$
und das wiederum lässt sich in der Gaußschen Zahlenebene darstellen.

Meine Ergebnisse sind mit GNU Octave 2.9 verifiziert.

*EDIT*
- Korrektur von $\\overline{M_2} \\setminus M_3$
- Korrekte $\\mathbb{R}$ eingefügt, statt normalen \"R\"s
- Korrektur der Formel von 2a, Tippfehler beseitigt, Danke an die Hinweisgeber
- + Lösungsweg 2c
- Korrektur von $\\varphi$

Last edited:
- Editiert von Drizzt am 14.02.2007, 17:25 -

filip · Beitrag von **filip** » 11.02.2007 16:01

erm kann es sein dass du bei 1a) $\\overline{ M_1 } \\setminus M_3$ statt $\\overline{ M_2 } \\setminus M_3$ gemacht hast? oder bin ich grad einfach nur verpeilt oO

Kane · Beitrag von **Kane** » 11.02.2007 17:56

[quote]erm kann es sein dass du bei 1a) $\\overline{ M_1 } \\setminus M_3$ statt $\\overline{ M_2 } \\setminus M_3$ gemacht hast? oder bin ich grad einfach nur verpeilt oO[/quote]

Ich denke ja, da habe ich wohl was falsches berechnet... Sollte jetzt, wenn ich mich jetzt nicht nochmal verrechnet habe, stimmen.

Danke & Grüße,
Drizzt

mr.magic · Beitrag von **mr.magic** » 12.02.2007 11:22

Sag ma, habt ihr zuviel Freizeit?
Mathe is vorbei, und da frag ich mich wie ihr darauf kommt am Wochenende nach dieser \"leicht\" anstrengenden Woche die Lösungen der Probeklausur zu vergleichen - jetz ists doch schon zu spät.
Aber jedem das Seine.....viel Spaß noch

Thunder09 · Beitrag von **Thunder09** » 12.02.2007 11:36

Zur 2a) Ergebnis haben wir auch raus, allerdings haben wir mit (-1-2i) erweitert, um das i im Nenner mit der 3. Binomischen Formel zu beseitigen.

Das Ergebnis deiner Rechnung ergibt für mich übrigens: -1+3i

LoveBuzz · Beitrag von **LoveBuzz** » 12.02.2007 11:40

@ stduent: mechatroniker schreiben anderes mathe als ET\'ler, ergo ham wir auch nicht mit euch zusammengeschrieben... vieleicht heißt der thread deshalb auch \"Matheklausur (ET/IST) 1, Lösungen f. Probeklausur\" unsere klausur ist am 26.02. also ist es durchaus berechtigt was die herren hier machen... :-O

achso @drizzt: du hast ja bei 2a) sicher mit der konjugiert kompexen zahl erweitert... es müsste $\\frac{\$5 + 0i\$\$-1 -2i \$} {\\mid\$-1 + 2i \$^2 \\mid} + i \\\\$ heißen... oder bin ich blöd??? (kann durchaus sein) dann kommt nähmlich auch das ergebnis hin

- Editiert von LoveBuzz am 12.02.2007, 11:54 -

mr.magic · Beitrag von **mr.magic** » 12.02.2007 13:06

Achso, na das wusst ich nicht - sry
Bin so froh das ich das alles schon überstanden hab, da muss ich wohl vergessen haben das ihr andere Prüfungstermine habt.
Na dann maximal Erfolge....

Kane · Beitrag von **Kane** » 12.02.2007 14:22

@Thunder09,LoveBuzz: Danke für die Hinweise, dass war natürlich ein Tippfehler meinerseits beim Übertragen meiner Lösungen vom Papier ins Forum. Manchmal verliert man bei diesen LaTeX-Ausdrücken einfach den Überblick.

@Student: Du hättest zumindest merken können, dass im Titel \"ET/IST\" steht...

Grüße,
Drizzt

mr.magic · Beitrag von **mr.magic** » 13.02.2007 00:57

Ich weiß, tut mir ja auch leid.
Aber ich hab bloß MatheKlausur gelesen, und dann kam auch schon das rote Tuch.
......deshalb, lernt bloß fleißig und lasst euch nicht vollquatschen!

Juergen · Beitrag von **Juergen** » 13.02.2007 13:03

entweder spinne ich total, oder die probeklausur wurde nochmal geändert... also jedenfalls M3 in Aufgabe 1. und vorallendingen, ohne es zu mit ner kleinen fußnote bemerken.... ;-(

Tank · Beitrag von **Tank** » 14.02.2007 12:14

ich hab bei den komplexen Zahlen
$\\varphi = -45^\\circ$
raus

und bei negativen real- und im- teil liegts wohl auch im 4. Quadranten
ich glaube der tangens verfälscht das ergebnis

Kane · Beitrag von **Kane** » 14.02.2007 14:11

[quote]ich hab bei den komplexen Zahlen
$\\varphi = -45^\\circ$
raus

und bei negativen real- und im- teil liegts wohl auch im 4. Quadranten
ich glaube der tangens verfälscht das ergebnis[/quote]

Kann das jemand verifizieren? Gibt es irgendeine Einschränkung für die Anwendbarkeit von $\\tan \\varphi$ ? Ich meine nein, lasse mich da aber gerne eines Besseren belehren.

Grüße,
Drizzt

filip · Beitrag von **filip** » 14.02.2007 15:00

das war mir gestern auch bei paar aufgaben ausm tollen uebungsbuch aufgefallen. nur liegt das ganze im 3. quadranten. also muss man zu dem winkel eigentlich nur PI addieren und kommt dann halt auf (5/4)*PI (225° bzw -135°).

LoveBuzz · Beitrag von **LoveBuzz** » 14.02.2007 15:22

@ drizzt: ja es gibt eine Einschränkung bei der Anwendung von tan phi: hatten wir in der vorlesung und steht auch im scherzinger ähm merziger auf seite 169 :
orginal wortlaut:\" $\\tan \\varphi$ Quadranten beachten!\"
die quadrantenbeziehungen stehen dann auf seite 171.

immer und unabhängig vom quadranten anwendbar sind nur
$\\cos \\varphi = \\frac{Re} {r}\\$ und
$\\sin \\varphi = \\frac{Im} {r}\\$

Kane · Beitrag von **Kane** » 14.02.2007 16:55

Tatsache, und wieder zeigt sich: wer lesen kann ist klar im Vorteil, dann muss ich das wohl mal anpassen...

*EDIT*
So, hoffe jetzt beim schnellen Korrigieren keine neuen Fehler eingebaut zu haben...

Grüße,
Drizzt

- Editiert von Drizzt am 14.02.2007, 17:27 -

chris´^^ · Beitrag von **chris´^^** » 14.02.2007 20:01

da das ding im 4ten Quadranten liegt (Im=Re=-1) sind es doch 135° (was ja auch filip zumindestens angedeutet hat). wie kommt ihr auf 225°, was ja 3ter Quadrant bedeuten würde!?

ich glaub du musst nochemal editieren, Drizzt

¤dit: eigentlich lohnt sich die diskussion nicht... ab morgen sind wir eh alle schlauer

LoveBuzz · Beitrag von **LoveBuzz** » 14.02.2007 20:38

apropos: ich bin morgen nicht da, könnte jemand die ausführlichen lösungen, wenn das keine umstände macht, online stellen??? das wäre echt nett...

danke!
gruß love buzz

filip · Beitrag von **filip** » 14.02.2007 20:43

[img]http://upload.wikimedia.org/wikipedia/d ... ellung.png[/img] (http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Gauss ... ellung.png)
ich versteh grad nicht wie du bei -1-i auf 4. quadranten kommst. also fuer mich ists immer noch der 3. und damit ists nun mal 225°

ich kann mal gucken wegen der mitschrift morgen, hoffentlich verpenn ich nicht -.-
- Editiert von filip am 14.02.2007, 20:50 -

chris´^^ · Beitrag von **chris´^^** » 15.02.2007 09:35

ok. hab mich bei den Quadranten verzählt *duck*

jetzt erscheint mir 225° durchaus sinnvoll :-O

Pluto · Beitrag von **Pluto** » 15.02.2007 21:15

Die Lösungen sind nun auch online

Tank · Beitrag von **Tank** » 16.02.2007 21:15

ja klar 3 quadrant is ja auch logisch

andi · Beitrag von **andi** » 22.02.2007 18:31

Hab ich wiedermal einen Denkfehler oder ist die beknackte Lösung falsch?! Warum steht da zu Aufgabe 1a) zur Menge \"Nicht M2 ohne M3\", dass die rechte Grenze 3/2 ist, aber geschlossen? Sie müsste doch offen sein, da 3/2 in der Menge M3 enthalten ist, oder? So wie ich das sehe, hatte Drizzt das ja auch so geschrieben.

chris´^^ · Beitrag von **chris´^^** » 22.02.2007 20:36

jopp... hast recht andi. hat die gute Fr. Noack mit ihrer lieblichen Stimme wohl was übersehen. aber beim vorrechnen hat sie\'s richtig angeschrieben.

Schau hier
- Editiert von chris^^ am 22.02.2007, 20:43 -

Ratte27 · Beitrag von **Ratte27** » 24.02.2007 14:59

Ich hab da mal ne Frage die nicht direkt mit den Lösungen zu tun hat, wollte nur keinen extra thread aufmachen.. Der Röbenack hat doch mal in einer der ersten Stunden gesagt dass wir uns \"ne Schubkarre voll mathe- Materialien\" theoretisch mit zur klausur nehmen können. Stimmt das? Also können wir alles benutzen was uns helfen könnte in Mathe? (also inc. Skripte, bücher, etc)

Apfe!t@sche · Beitrag von **Apfe!t@sche** » 24.02.2007 17:47

du darfst niemals alles nicht benutzen, womit du nicht zur außenwelt kommunizieren kannst...