Zusatzaufgaben Nichtlineare Systeme

Automatisierungs- und Regelungstechnik
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Beitrag von SNoTTy » 12.02.2007 20:45

Hallo, hat sich schon jemand an die Zusatzaufgaben von Dr. Rudolph gewagt? Gespostete Lösungen oder Ansätze würden mir da sehr weiterhelfen! Habt ihr da was anzubieten?
\"Etwas nicht tun zu können ist kein Grund es nicht zu tun.\"

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Beitrag von Friedl » 12.02.2007 21:12

ist in arbeit ;-) aber wie gesagt selber den kopf zerbrechen ist der schlüssel zum erfolg (oder so) :-O

PS: kannst ja mal posten was du schon so an lösungsansätzen hast.
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Beitrag von Hoffi » 13.02.2007 09:34

da muß ich friedl recht geben probiers selber, auch wenns schwer fällt lern effekt am größten
Lieber spät als nie!
Ich denke also bin ich..

Ich stand bis zum Hals in der Scheiße,da sprach eine Stimme zu mir:\"Lächle und sei froh, es könnte schlimmer kommen!\"
Ich lächelte und war froh und es kam noch schlimmer..

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Beitrag von Enni » 13.02.2007 10:15

Also bei der 4. Aufgabe können wir dennoch mal was zusammentragen. Den Rest bekommt man raus, aber die is echt das Letzte;-(.

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Beitrag von Friedl » 13.02.2007 17:29

hallo
ich habe jetzt mal unsere lösung zur 1. und 2. aufgabe ins netz gestellt und ansätze zur 3.
ich hoffe das stimmt soweit und würde mich freuen wenn ihr schonmal ansätze zur 4. aufgabe senden würdet (ich habe sie mir noch nicht angeguckt)

also dann mal frohes weiter kommen im rechnen.
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Beitrag von Schmarkus » 14.02.2007 17:00

Hi,

also wir haben ein paar Schwierigkeiten bei der 3. Aufgaben. Wir kommen einfach nicht bei der Teilaufgabe \"c\" auf die Funktion in Abhängigkeit von \"x3\"!!
Entweder haben wir eine Funktion gefunden das die Ljapunovfkt. zwar postiv definit ist aber nicht das die Lie-Ableitung nur negativ definit ist.!!!
Oder halt umgekehrt!!
Darf die Lie-Ableitung der Ljapunovfkt. in der Ruhelage \"x=0\" nur negativ definit sein oder darf sie negativ semidefinit sein??
Vielleicht könnt ihr ja uns helfen.

Mfg Markus

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Beitrag von sgl » 14.02.2007 20:56

Wir haben da heute die 3. Aufgabe gerechnet, bzw. ich stelle zur Diskussion;
b)\\dot{\\Phi}=L_f\\Phi=2\\cosh^2x_3(x_1^2+x_2^2)\\Phi=0\\ da\\ \\Phi=0
c)\\dot{\\Phi}=L_f\\Phi=\\underbrace{\\cosh^2x_3(x_1^2+x_2^2)\\Phi}_{=0\\ f\"ur\\ Menge\\ aus\\ b) }-\\underbrace{\\frac{\\partial\\psi(x_3)}{\\partial
    x_3}\\sinh x_3\\cosh x_3}_{>0}

\\frac{\\partial\\psi(x_3)}{\\partial x_3}=\\sinh x_3 \\ \\rightarrow
    \\psi(x_3)=\\cosh x_3

Etwas uneins waren wir uns wegen x_3=0, ob das mit zu positiv invarianten Menge gehört, dann wäre es ja nur semidefinit?

d) muss selbst größer Null sein, ist für \\psi(x_3)=\\cosh x_3 erfüllt.
e)nein siehe Einschränkung auf das Gebiet von b)
f)x_3=0 System 1->System 2 nicht global asymptotisch stabil, Trajektorie auf Einheitskreis bleibt auf Einheitskreis vgl. 5.Ü Aufgabe 3b

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Beitrag von Friedl » 14.02.2007 23:09

sql da stimme ich dir voll zu :-O
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Beitrag von Friedl » 15.02.2007 17:03

so nochmal zu den zusatzaufgaben. in der lösung die ich ins netz gestellt habe sind noch fehler drin. ich werde versuchen am freitag abend nochmal eine neue überarbeitete version rein zu stellen.

zur aufgabe 4 schonmal soviel gesagt:
x=(y y_dot i)
lineariesieren von y_dotdot und i als rückführung wählen
im folgenden das linearisierte system erweitern und u als stellgröße wählen
x_dot=f_1(x)+g_1(x)*i mit i=w=alfa(x)
w_dot=f_2(x)+g_2(x)*u mit z=w-alfa(x)
und das ganz mit dem backstepping-ansatz rechnen ;-)
also dann L_f V_2(x,w)=L_f V_1(x)+z*z_dot aufstellen und dahin kommen dass man u=... bekommt

ich hoffe ich habe das jetzt noch richtig zusammen bekommen.
ciao friedl
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Beitrag von Friedl » 16.02.2007 21:23

ich habe die lsg von unserer lerngruppe wieder gelöscht aber vielleicht schaffe ich es bis morgen nochmal eine zweite version online zu stellen.

bis dahin viel erfolg beim lösen und versaut euch nicht den tag damit ;-)

ciao Friedl

PS: wäre schön wenn sich auch andere mal zu dem thema auslassen würden.
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Beitrag von ChriSchu » 17.02.2007 12:39

Mit der Lösung aus 3c stimme ich überein, würde sie aber etwas anders interpretieren wollen:

Der erste Term der Lie-Ableitung wird 0 für Punkte aus der Menge aus b) - dies ist völlig korrekt.
Es sollte hier aber weiter diskutiert werden:
Für Punkte innerhalb des Trichters aus b) ist der Term kleiner 0 und für die Punkte ausserhalb immer größer 0.
Dies bedeutet, dass dieses System nur innerhalb des Trichters konvergiert, da die LieAbleitung sonst positiv werden kann.

Nun wäre es am naheliegendsten Psi=0 zu wählen. Dies ist aber aus zwei Gründen nicht günstig:
1. LfV ist nur negativ semi-definit (für x1=x2=0 wird LfV=0) -> Danke Ronn
2. V wäre nicht positiv definit

Wählt man Psi=cosh(x3) ist zumindest 1. behoben.
Es sollte aber noch eine Konstante ergänzt werden, damit V(0)=0 sichergestellt wird.
Dies wird durch Psi = cosh(x3) - 1 realisiert.

Gibt es schon neue Vorschläge zu der vierten Aufgabe?
- Editiert von ChriSchu am 17.02.2007, 15:58 -

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Beitrag von Friedl » 17.02.2007 21:48

So ich hab es doch noch geschafft mal den geistigen schleim in schwarz auf weiß umzuformen. (s. Downloads)

@ chrischu: da stimme ich dir zu. habe es jetzt aber leider in meinen lösungsblättern nicht mit drin :-( (also OBACHT an alle)

dann mal viel spaß bei lesen.

ciao der friedl

PS: würde mich freuen wenn morgen vieleicht noch mehr komentare erscheinen wie der von chrischu und co ;-)
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Beitrag von ChriSchu » 18.02.2007 08:24

Zu allererst vielen Dank, dass Du Deine Ergüsse so öffentlich zu Verfügung stellst.

Ich gern drei Anmerkungen machen wollen:
1a) Diese Invarianz bezüglich der Transformation bedeutet, auch dass das Phasenportrait symmetrisch zur x2-Achse ist.
1c) Hier ist es evtl. zweckmäßiger die Gleichgewichtslagen in die Jacobimatrix einzusetzen und danach erst Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren zu berechnen.
3f) Die letzte Gleichung (x3) ist autonom. Dies bedeutet, dass das System zumindest in x3 immer gegen x3=0 strebt. Dies führt dazu, dass sich das Gesamtsystem irgendwann wie das System aus Teilaufgabe f) verhält. Auf das Stabilitätsverhalten kann man auch aus dem gegebenen Phasenportrait schließen.

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Beitrag von Enni » 18.02.2007 15:36

Bei mir sieht bei der 4b die letzte Komponente von \\underline{g}(\\underline{x}) irgendwie anders aus. Ich hab statt der 1 dort \\frac{c+x_1}{2k}. Wie kommst Du auf die 1?
Bei dem Rest (bis A4c) kann ich eigentlich auch nur zustimmen. Hab bei 3c ein anderes Psi: \\psi=\\frac{1}{4}\\cosh(x_3)-\\frac{1}{4}. Basiert aber auch auf dem gleichen Prinzip.

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Beitrag von Enni » 18.02.2007 15:59

Noch ne andere Sache @ChriSchu: Ich hatte das mit dem Psi=0 auch erst im Auge. Und es würde doch auch lokal funktionieren. Warum soll dann V plötzlich nicht positiv definit sein?

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Beitrag von Friedl » 18.02.2007 17:10

enni das stimmt. also g(x)=1 ist falsch.
so wie du es geschrieben hast stimmt es :-)
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