Systemtheorie 3 Zusatzaufgaben, Lösungsvorschläge

Informationstechnik
Gesperrt
Benutzeravatar
MrGroover
Beiträge: 3593
Registriert: 02.12.2003 09:48
Name: Micha
Geschlecht: männlich
Studienrichtung: Elektrotechnik
Matrikel: 2003
Angestrebter Abschluss: Dipl-Ing.
Contact:

Systemtheorie 3 Zusatzaufgaben, Lösungsvorschläge

Beitrag von MrGroover » 15.10.2005 16:00

Ich will hier mal versuchen, die Lösungswege/~vorschläge (sofern nicht anders angegeben, sind es meine) für die Zusatzaufgaben zu sammeln, damit dann zur Prüfung schon mal ne Basis da ist...
Fang ich einfach mal an:
Z1 a)
\picture(200) {
(0,20){\line(180,0)}
(50,20){\line(0,160)}
(5,5){-2}
(50,5){0}
(90,5){2}
(130,5){4}
(40,160){1}
(10,20){\line(0,35)}
(10,55){\line(40,0)}
(50,90){\line(80,0)}
(130,90){\line(0,70)}
(130,160){\line(30,0)}
(50,180){F(x)}
(180,10){x}
}
b)
E(X)=\sum\limits_i x_iP\{X=x_i\} = -2 \cdot 0.25 + 0 \cdot 0.25 + 4 \cdot 0.5 = 1.5
c)
Var(X)=\sum\limits_i (x_{i}-E(X))^{2}P\{X=x_i\} = (-3.5)^2 \cdot 0.25 + (-1.5)^2 \cdot 0.25 + 2.5^2 \cdot 0.5 = 6.75
Z2)
a)
F_X(\xi)=\int\limits_{-a}^{\xi}\frac{1}{2a^2}(x+a)dx=\frac{\xi^2+2\xi a + a^2}{4a^2}
b)
\picture(200){
(0,20){\line(180,0)}
(90,20){\line(0,160)}
(185,10){\xi}
(90,130){f_X(\xi)}
(120,80){F_X(\xi)}
(15,10){-a}
(20,20){\line(0,5)}
(160,10){a}
(160,20){\line(0,5)}
(20,20){\line(140,140)}
(160,160){\frac{1}{a}}
(20,220){\circle(400,400;-45,-90)}
}
c)
E(X)=\int\limits_{-a}^{a}\frac{x}{2a^2}(x+a)dx=\frac{a}{3}
Um Bestätigung oder Korrekturen der Ergebnisse wird gebeten.
[edit]6.75 als Var(X) geändert[/edit]

Enni
Beiträge: 10
Registriert: 05.01.2004 23:38

Systemtheorie 3 Zusatzaufgaben, Lösungsvorschläge

Beitrag von Enni » 15.10.2005 22:29

Hab ich fast alles genauso, nur die Varianz bei Z1 c) hab ich mit 6.75. Deine Formel und die Werte stimmen, irgendwie falsch eingetippt.
Und die Angabe der Verteilungsfunktion würde ich in der Klausur noch etwas erweitern:
F_X(\xi)=\left\{ \begin{matrix} 0 \quad , & \xi  a \end{matrix} \right.
Aber ja nur wenns drauf ankommt.

Benutzeravatar
MrGroover
Beiträge: 3593
Registriert: 02.12.2003 09:48
Name: Micha
Geschlecht: männlich
Studienrichtung: Elektrotechnik
Matrikel: 2003
Angestrebter Abschluss: Dipl-Ing.
Contact:

Systemtheorie 3 Zusatzaufgaben, Lösungsvorschläge

Beitrag von MrGroover » 22.10.2005 13:08

So, neue Woche, neues Wissen, neue Vorschläge ;-)
Z3)
a)
f_X(x_1, x_2)=\left{ \begin{matrix}\frac{2}{a^2} & (x1, x2) \in B \\ 0 & (x_1, x_2) \notin B \end{matrix} \right. \qquad \qquad f_{X_1}(x_1) = \left{ \begin{matrix} 0 & x_1  a-x_2 \end{matrix} \right.
b)
\picture(200) {
(0,20){\line(180,0)}
(50,20){\line(0,160)}
(50,5){0}
(130,5){a-x_2}
(40,150){\frac{2}{a}}
(50,150){\line(80,-130)}
(50,180){f_{X_1}(x_1)}
(180,10){x}
}
c)
p = \int \limits_{0.5a}^a \frac{2(a-x_1)}{a^2} \mathrm{d}x_1 = 0.25

[edit]Für die Z4 hab ich nun auch noch verbesserte Vorschläge:[/edit]
Z4)
a)
f_X(x_1, x_2)=\left{ \begin{matrix}\frac{1}{r^2\pi} & (x_1, x_2) \in B \\ 0 & (x_1, x_2) \notin B \end{matrix} \right. \qquad \qquad f_{X_1}(x_1) = \left{ \begin{matrix} 0 & x_1  \sqrt{r^2-x_2^2} \end{matrix} \right.
Setzt man jetzt r=1, werden das alles recht einfache Formeln, aber Allgemein kann ja net schaden ;-)
b)
f_{X_1} = 2 \int \limits_{0}^{\sqrt{r^2-x_1^2}} \frac{\sqrt{r^2-x_2^2}}{\pi r^2} \mathrm{d}x_2 = \frac{2\sqrt{r^2-x_1^2}}{\pi r^2} \qquad f_{X_2} = 2 \int \limits_{0}^{\sqrt{r^2-x_2^2}} \frac{\sqrt{r^2-x_1^2}}{\pi r^2} \mathrm{d}x_1 = \frac{2\sqrt{r^2-x_1^2}}{2} \\f_{X_1} \cdot f_{X_2} = \frac{4 \sqrt{r^2-x_1^2}\sqrt{r^2-x_2^2}}{\pi^2 r^4} \not{=} f_X(x_1, x_2) \\\Rightarrow \quad X_1\quad \text{und}\quad X_2\quad\text{sind nicht unabhaengig voneinander}

Hier war ne Fehlerkorrektur nötig, dank an Bob der Baumeister, hat en bissel gedauert, bis ichs eingesehen hab ;-)
Zuletzt geändert von MrGroover am 28.12.2010 19:11, insgesamt 2-mal geändert.
Grund: Formeln schön gemacht

Benutzeravatar
MrGroover
Beiträge: 3593
Registriert: 02.12.2003 09:48
Name: Micha
Geschlecht: männlich
Studienrichtung: Elektrotechnik
Matrikel: 2003
Angestrebter Abschluss: Dipl-Ing.
Contact:

Systemtheorie 3 Zusatzaufgaben, Lösungsvorschläge

Beitrag von MrGroover » 31.12.2005 16:28

Die Z5 muss ich nochmal in ne gute Form bringen, hab ich jetzt keine Lust zu...
Z6)
I = \frac{U_1}{R_1} \\U_1 = W - U \\s_I = E\left[I(t)I(t+\tau)\right] \\s_I = E\left[\frac{W(t)-U(t)}{R_1}\cdot\frac{W(t+\tau)-U(t+\tau)}{R_1}\right] \\s_I = \frac{1}{R_1^2}E\left[W(t)W(t+\tau)-W(t)U(t+\tau)-U(t)W(t+\tau)+U(t)U(t+\tau)\right]
Da bekannt ist, dass man E\left[\sum \cdots\right] auch als \sum E[\ldots] schreiben kann, bekommt man eine Summer aus 4 Erwartungswerten. Da U und W unabhängig voneinander sind und beide erwartungswerfrei sind, ist dieser Erwartungswert null. Das Ergebnis sieht wie folgt aus:
s_I = \frac{s_W(\tau)+s_U(\tau)}{R_1^2}
Zuletzt geändert von MrGroover am 28.12.2010 19:07, insgesamt 2-mal geändert.
Grund: Formeln schön gemacht

Benutzeravatar
MrGroover
Beiträge: 3593
Registriert: 02.12.2003 09:48
Name: Micha
Geschlecht: männlich
Studienrichtung: Elektrotechnik
Matrikel: 2003
Angestrebter Abschluss: Dipl-Ing.
Contact:

Systemtheorie 3 Zusatzaufgaben, Lösungsvorschläge

Beitrag von MrGroover » 31.12.2005 16:50

Z7)
Erstmal kommen eine Festlegung...
y_1 = 2x_1 + x_2 \\
Dann gehts los mit der AKF von Y
s_Y(\tau) = E[Y(t)Y(t+\tau)] = \left[(2X_1(t)+X_2(t))(2X_1(t+\tau)+X_2(t+\tau))\right] \\s_Y(\tau) = E[4X_1(t)X_1(t+\tau)]+E[2X_1(t)X_2(t+\tau)]+E[2X_2(t)X_1(t+\tau)]+E[X_2(t)X_2(t+\tau)] \\s_Y(\tau) = 4s_{X_1}(\tau)+s_{X_2}(\tau)
Der 2. Teil ist eigentlich auch nicht weiter schwer. Da der Prozess am Ausgang ebenfalls wieder ein Gaußprozess ist, wird die ganze Sache recht einfach, da ein Gaußprozess bereits durch die AKF und den Mittelwert definiert ist. Rechnen wir also noch den Mittelwert aus:
E[Y(t)] = E\left[2X_1(t)+X_2(t)\right]
E[Y(t)] = 2E[X_1(t)]+E[X_2(t)]
Oh Wunder, der Mittelwert ist null...
Damit bleibt für den Gaußprozess nur Folgendes über:
f_Y = \frac{1}{\sqrt{s_Y(0)2\pi}}e^{-\frac{y^2}{s_Y(0)}}\\f_Y = \frac{1}{\sqrt{(2A+B)2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2A+B}}
Zuletzt geändert von MrGroover am 28.12.2010 19:07, insgesamt 2-mal geändert.
Grund: Formeln schön gemacht

Benutzeravatar
MrGroover
Beiträge: 3593
Registriert: 02.12.2003 09:48
Name: Micha
Geschlecht: männlich
Studienrichtung: Elektrotechnik
Matrikel: 2003
Angestrebter Abschluss: Dipl-Ing.
Contact:

Systemtheorie 3 Zusatzaufgaben, Lösungsvorschläge

Beitrag von MrGroover » 31.12.2005 17:05

Bei der Z8 hatte ich ein paar Werte nicht ganz bis zum Ende ausgerechnet...
Z9)
f_Y(y) = \left( \frac{f_X(x)}{\left|\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right|}\right)_{x=\varphi^{-1}(y)} \\f_X(x) = \frac{1}{7} \\\varphi = -\sqrt[3]{x} \\\frac{\partial \varphi}{\partial x} = -\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} \\y = - \sqrt[3]{x} \Rightarrow x = -y^3 \Rightarrow -2\le y \le -1\\f_Y(y) = \left(\frac{\frac{1}{7}}{\left| -\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\right|}\right)_{x=-y^3} \qquad = \frac{y^2}{21}
Zuletzt geändert von MrGroover am 28.12.2010 19:06, insgesamt 2-mal geändert.
Grund: Formeln schön gemacht

Benutzeravatar
MrGroover
Beiträge: 3593
Registriert: 02.12.2003 09:48
Name: Micha
Geschlecht: männlich
Studienrichtung: Elektrotechnik
Matrikel: 2003
Angestrebter Abschluss: Dipl-Ing.
Contact:

Systemtheorie 3 Zusatzaufgaben, Lösungsvorschläge

Beitrag von MrGroover » 31.12.2005 17:47

So, in der Hoffnung, dass der Rechner net nochma abkackt und das Kabelwackeln gereicht hat, kommen noch die Z10 und Z11.
Z10)
f_X(x) = 3e^{-3x} \\f_Y(y) = 0.5y \\\varphi(x) = F_Y^{-1}(F_X(x))\\F_X(x) = \int \limits_0^x 3e^{-3\xi} \mathrm{d}\xi = -e^{-3\xi}|_0^x = 1-e^{-3x} \\F_Y(y = \varphi(x)) = \int \limits_0^{\varphi(x)} 0.5y\mathrm{d}y = \frac{1}{4}y^2|_0^{\varphi(x)} = \frac{1}{4}\varphi^2(x) \\\Rightarrow 1-e^{3x} = \frac{1}{4}\varphi^2(x) \\\varphi(x) = \sqrt{4-4e^{-3x}}
Zuletzt geändert von MrGroover am 28.12.2010 19:12, insgesamt 1-mal geändert.
Grund: Formeln schön gemacht

Benutzeravatar
MrGroover
Beiträge: 3593
Registriert: 02.12.2003 09:48
Name: Micha
Geschlecht: männlich
Studienrichtung: Elektrotechnik
Matrikel: 2003
Angestrebter Abschluss: Dipl-Ing.
Contact:

Systemtheorie 3 Zusatzaufgaben, Lösungsvorschläge

Beitrag von MrGroover » 31.12.2005 18:16

Und noch die Z11)
a)Y(t) = -X_2 + 6X_2\cdot X_1 = X_2(6X_1-1)
Da mir die Rechnung hier jetzt zuviel Tipparbeit wird, kommt nur die letzte Zeile. Man muss einfach nur wieder im Gedächtnis ham, dass ne Summe aus Argumenten im Erwartungswert durch die Summe der Erwartungswerte ausdrücken läßt und bei unabhängigen Prozessen dies auch für die Multiplikation gilt. Außerdem schön drauf schaun, dass die Prozesse mittelwertfrei sind.
s_Y(t) = s_{X_2}(\tau)(36s_{X_1}(\tau)-1) \\Var(Y) = s_Y(\tau=0) = s_{X_2}(0)(36s_{X_1}(0)-1) = Var(X_2)(36Var(X_1)-1)
b) Müßte ebenfalls wieder im weiteren Sinne stationär sein, da eine Kombination aus solchen Prozessen mit Hilfe einfacher Rechenoperationen an dieser Eigenschaft nichts ändert.
c) Ist auch wieder ein Gaußprozess. Die Multiplikation der einzelnen Gaußprozesse führt zur Addition der Exponenten und es bleibt ein Gaußprozess.
Bei b und c kann evtl mal jemand der in der Übung war und dies dort erfahren hat, kommentieren...

Und noch die Z12)
Ist im Prinzip wie viele andere Aufgaben zu diesem Thema, deshalb nur ein paar Eckdaten:
y=ax+b \\s_X(0) = Var(X) = A^2 \\\left| \frac{\partial \varphi}{\partial x}\right| = |a|\\\varphi^{-1}(y) = \frac{y-b}{a} \\f_Y(y,t)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}A|a|}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{y-b}{aA}\right)^2}
Zuletzt geändert von MrGroover am 28.12.2010 19:05, insgesamt 1-mal geändert.
Grund: Formeln schön gemacht

ToWag
Beiträge: 386
Registriert: 30.05.2004 11:01
Geschlecht: männlich
Studienrichtung: Elektrotechnik
Matrikel: 2003
Angestrebter Abschluss: Dipl-Ing.
Contact:

Systemtheorie 3 Zusatzaufgaben, Lösungsvorschläge

Beitrag von ToWag » 31.12.2005 18:36

Machst Du etwa heute alle Systemtheorie3-Zusatzaufgaben?
...Respekt!

Benutzeravatar
MrGroover
Beiträge: 3593
Registriert: 02.12.2003 09:48
Name: Micha
Geschlecht: männlich
Studienrichtung: Elektrotechnik
Matrikel: 2003
Angestrebter Abschluss: Dipl-Ing.
Contact:

Systemtheorie 3 Zusatzaufgaben, Lösungsvorschläge

Beitrag von MrGroover » 31.12.2005 18:59

Nee, nur die letzten Male, nachdem ich die machte, stand noch TET und so an, da gabs keine Gelegenheit, die zu posten. Vorhin hatte ich nen Moment Zeit, bzw keine Lust, TET oder Analoge noch anzufangen... Nicht bei nem bevorstehenden Format C ;)

Benutzeravatar
MrGroover
Beiträge: 3593
Registriert: 02.12.2003 09:48
Name: Micha
Geschlecht: männlich
Studienrichtung: Elektrotechnik
Matrikel: 2003
Angestrebter Abschluss: Dipl-Ing.
Contact:

Systemtheorie 3 Zusatzaufgaben, Lösungsvorschläge

Beitrag von MrGroover » 16.02.2006 11:42

Da ichs grad in nem anderen Thread gepostet hatte, kommt die Z16 jetzt noch hier hin, der Vollständigkeit halber...
Z16)
a)
S_{U1}=2kTRe\{R+R||\frac{1}{sC}\} = 2kT\left(R+\frac{R}{1+(\omega CR)^2}\right)\\S_{U2}=2kTRe\{R||\frac{1}{sC}\}=2kT\frac{R}{1+(\omega CR)^2}\\S_{U1U2}=S_{U2}
b) s_{U2}(\tau)=\frac{kT}{C}e^{-\frac{|\tau|}{CR}}
c) U_{eff}=\sqrt{\frac{kT}{C}}
Zuletzt geändert von MrGroover am 28.12.2010 19:13, insgesamt 1-mal geändert.
Grund: Formeln schön gemacht

StinkePunk
Beiträge: 124
Registriert: 06.02.2006 01:07
Contact:

Systemtheorie 3 Zusatzaufgaben, Lösungsvorschläge

Beitrag von StinkePunk » 17.05.2007 17:22

ich hätt da mal ne Frage zur Z7:

du sagst
s_Y(\tau) = 4\cdot s_X_1(\tau) + s_X_2(\tau)
so weit so gut.
Dann setzt du s(0) für \sigma^2 ein. Dass seh ich dann auch noch ein. Aber wieso wird dann aus der 4 ne 2?
Muss es nicht
\sigma^2=s(0)=4 \cdo A +B
heißen?
Also sprich mit der Gesamtlösung:
f_Y = \frac{1}{\sqrt{(4 \cdot A + B) \cdot 2 \pi}}e^{-\frac{y^2}{4 \cdot A + B}}
- Editiert von StinkePunk am 17.05.2007, 18:41 -
Zuletzt geändert von MrGroover am 28.12.2010 19:14, insgesamt 1-mal geändert.
Grund: Formeln schön gemacht

StinkePunk
Beiträge: 124
Registriert: 06.02.2006 01:07
Contact:

Systemtheorie 3 Zusatzaufgaben, Lösungsvorschläge

Beitrag von StinkePunk » 19.07.2007 19:32

zur Z11

Y(t) = x_2(t) \cdot ( 6 \cdot x_1(t) - 1)
s_y(\tau)=E[x_2(t) \cdot (6 \cdot x_1(t)-1) \cdot x_2(t+ \tau) \cdot (6 \cdot x_1(t+ \tau)-1)
s_y(\tau)=E[x_2(t) \cdot x_2(t+ \tau) \cdot 36 \cdot x_1(t) \cdot x_1(t+ \tau) + 1 - 6 \cdot x_1(t) - 6 \cdot x_1(t + \tau)]
s_y(\tau)=s_2(\tau) \cdot 36 \cdot s_1(\tau) + 1

Var(Y) = E[x_2 \cdot (x_1 - 1) \cdot x_2 \cdot (x_1-1]
Var(Y) = E[x_2^2 \cdot (36 \cdot x_1^2 - 12 \cdot x_1 + 1)]
Var(Y) = E[x_2^2] \cdot (E[36 \cdot x_1^2] + E[1])
Var(Y) = E[x_2^2] \cdot (E[36 \cdot x_1^2] + 1)

kann mich auch irren, aber ich glaub so müsste es sein.
Falls ich mich irre, bitte ich um Korrektur!

- Editiert von StinkePunk am 19.07.2007, 21:00 -
- Editiert von StinkePunk am 19.07.2007, 21:01 -
Zuletzt geändert von MrGroover am 28.12.2010 19:14, insgesamt 1-mal geändert.
Grund: Formeln schön gemacht

StinkePunk
Beiträge: 124
Registriert: 06.02.2006 01:07
Contact:

Systemtheorie 3 Zusatzaufgaben, Lösungsvorschläge

Beitrag von StinkePunk » 20.07.2007 16:33

Z13

S_x(\omega)=\sqrt{\frac{\p \cdot a}{a \cdot \pi}} \cdot S_o \cdot exp(\frac{- \omega^2}{4a}) mit a=\frac{1}{4 \cdot k^2} korrespondiert zu \frac{S_o}{\sqrt{4 \pi k^2}} \cdot exp(\frac{- \tau^2}{4k^2})

mit den entsprechenden Formel aus der Formelsammlung kommt man nun auf

s_{xx\'}=- \frac{2 \tau}{4 k^2} \cdot \frac{S_o}{\sqrt{4 \pi k^2}} \cdot exp(\frac{- \tau^2}{4 k^2})
s_{x\'x}= \frac{2 \tau}{4 k^2} \cdot \frac{S_o}{\sqrt{4 \pi k^2}} \cdot exp(\frac{- \tau^2}{4 k^2})
und
s_{x\'}=- \frac{4 \tau^2}{16 k^4} \cdot \frac{S_o}{\sqrt{4 \pi k^2}} \cdot exp(\frac{- \tau^2}{4 k^2})
- Editiert von StinkePunk am 20.07.2007, 17:42 -
Zuletzt geändert von MrGroover am 28.12.2010 19:15, insgesamt 1-mal geändert.
Grund: Formeln schön gemacht

StinkePunk
Beiträge: 124
Registriert: 06.02.2006 01:07
Contact:

Systemtheorie 3 Zusatzaufgaben, Lösungsvorschläge

Beitrag von StinkePunk » 21.07.2007 19:47

Z14

G(j \omega) = \frac{4}{j \omega + 0,8}
Y(\omega) = |G(j \omega)|^2 \cdot X(\omega) = \frac{16 \cdot S_o}{\omega^2 + 0,64}
Zuletzt geändert von MrGroover am 28.12.2010 19:15, insgesamt 1-mal geändert.
Grund: Formeln schön gemacht

StinkePunk
Beiträge: 124
Registriert: 06.02.2006 01:07
Contact:

Systemtheorie 3 Zusatzaufgaben, Lösungsvorschläge

Beitrag von StinkePunk » 22.07.2007 13:57

Z15

S_u(\omega)= 2 k T \cdot Re(Z_{AB}(j \omega)) = 2kT (R_1 + \frac{R_2}{1+(\omega C R)^2} )
S_i(\omega)= 2 k T \cdot Re(Y_{AB}(j \omega)) = 2kT \frac{R_1 + R_2 + \omega^2 R_2^2 C R_1}{(R_1+R_2)^2+(\omega C R_1 R_2)^2}
Zuletzt geändert von MrGroover am 28.12.2010 19:16, insgesamt 1-mal geändert.
Grund: Formeln schön gemacht

Benutzeravatar
Stormbreaker
Beiträge: 909
Registriert: 06.06.2004 13:07
Name: Gesine Schwan
Geschlecht: weiblich
Matrikel: 2012
Angestrebter Abschluss: Doktor

Systemtheorie 3 Zusatzaufgaben, Lösungsvorschläge

Beitrag von Stormbreaker » 20.03.2008 12:48

Hallo,

ich habe eine Frage zu Z3:
Ich sehe das mit f_{X} (x) = \frac{2}{a^2} genauso.
Wenn ich jedoch den Weg über die Integration nehme: c \cdot \Bigint_{0}^a \Bigint_{0}^a dx_1 dx_2, dann komme ich irgendwie auf \frac{1}{a^2}.

Das Problem hat sich auch schon gelöst:
x_2 = -x_1 + a und c \cdot \Bigint_{0}^a \Bigint_{0}^{a - x_2} dx_1 dx_2= 1 ergeben f_X (x) = c = \frac{2}{a^2}!
- Editiert von Barack Obama am 20.03.2008, 12:59 -
Zuletzt geändert von MrGroover am 28.12.2010 19:16, insgesamt 1-mal geändert.
Grund: Formeln schön gemacht
Einen Tag nachdem Bundespräsident Köhler in China war, wird zB der Bau einer Transrapidstrecke über 750km abgesagt. Dieses Jahr, vor wenigen Wochen ist das ThyssenKrupp-Siemens-Konsortium getrennte Wege gegangen. Dies kann und darf nicht sein und genau deshalb nehme ich ab jetzt das Ruder in die Hände!

Gesperrt

Zurück zu „IT“