Klausur Signalverarbeitung (primär WS05/06)

Informationstechnik
banana_82
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Beitrag von banana_82 » 15.02.2007 18:33

Hallöchen,

ich mache diesen Thread, damit wir über die Klausuren diskutieren können!
Also, ich fange mal an!
Klausur WS 05-06

Aufgabe 1:

 \\LARGE X(\\omega)=\\frac{\\alpha}{{\\alpha}^2+{\\omega}^2}-j\\frac{\\omega}{{\\alpha}^2+{\\omega}^2}

bei der Aufgabe 2 habe ich die Lösung in dem Mitschrift (im Download-Bereich) gefunden aber habe leider nicht ganz kapiert. Also man bekommt einfach das Ergebnis raus, und setzt wieder in die Rückintegral ein, damit man bestätigen könnte, dass das Ergebnis stimmt. Aber die Frage ist: woher bekommt man das Ergebnis?? Könnte jemand von euch das mal erklären, wäre toll!

banana_82
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Beitrag von banana_82 » 15.02.2007 19:45

wenn jemand die Aufgabe schon mal gemacht hatte, bitte ich auch gern um die Lösung/den Vorschlag von Aufgabe 2 e) (in der selben Klausur)
Schönen Dank!

schonallesweg
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Beitrag von schonallesweg » 16.02.2007 01:46

Ich habe...

X(w) = 2*j*w / (a^2 + w^2)

...herausbekommen. In Hinblick auf Aufgabe c) denke ich das es richtig ist denn die Transformierte einer ungeraden Funktion sollte rein imaginär sein (Übung 3.1b).

schonallesweg
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Beitrag von schonallesweg » 16.02.2007 10:42

Aufgabe e)

\\Large \\frac{1}{2\\,a} * e^{-3\\,a\\,|\\tau|}  -  |\\tau| \\, e^{a\\,|\\tau|}  +  \\frac{1}{2\\,a}

Ich habe ein Fallunterscheidung tau0 vorgenommen. Das Integral habe ich in 3 Teilintegrale zerlegt. (-inf bis tau, tau bis 0, 0 bis inf (für tau<0))

??? Geplottet sieht es ganz gut aus.

banana_82
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Beitrag von banana_82 » 16.02.2007 13:05

@schonallesweg: bei der Aufgabe 2 ist die Funktion \\LARGE f_{(t)}= cos(\\frac{\\pi}{2a}t) aber gerade Funktion, nicht?
Also, ich habe nochmal gerechnet und bekomme dann \\LARGE X_{(\\omega)}=\\frac{\\pi}{a}x_0\\frac{cos(3a\\omega)}{({\\frac{\\pi}{2a}})^2-{\\omega}^2} mal raus.
Außerdem, habe ich deine Methode bei 2e) auch nicht so richtig verstanden. Könntest du noch einpaar Zeilen erklären?

banana_82
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Beitrag von banana_82 » 16.02.2007 13:13

Ich sehe bei dir ein ganz anderes Ergebnis als mein. Deswegen frage ich mich, ob wir über zwei verschiedene Klausuren diskutiert haben :-O

Also, meine Aufgaben sind von der Klausur vom Wintersemester 05-06


schonallesweg
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Beitrag von schonallesweg » 16.02.2007 14:04

Ach so ein mist... vergiss alles! Ich rechne hier die Klausur vom Sommer. :) (Der Link ist aber dennoch ganz gut)

gulli
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Beitrag von gulli » 16.02.2007 14:26

bei 1 e)

( e^( -a*tau )-e^(a*tau) )/( 2*a) = -sinh(a*tau)/a

wozu die fall unterscheidung??

bei 1b) fehlt das minus !!

hat schon jemand 3. gerechnet?

bei 3c) komm ich [:] auf keine Lösung


schonallesweg
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Beitrag von schonallesweg » 16.02.2007 15:10

@gulli: Hatte ich eben auch erst: muss aber falsch sein weil AKF dann bei tau=0 minimum hat -> sinnlos. Es fehlt die Fallunterscheidung: Einfach Skizze machen! Es sind 3(!) Fälle. Zwichen tau und 0 überlagern sich -e^at und e^-at - die anderen beiden hast du ja schon.

@banana: WS05/06 - Aufg 2: a bis c habe ich auch so herausbekommen. Bei e) muss ein Linienspektrum entstehen. Ich glaube man soll eine Fourieranalyse durchführen und das Linienspektrum angeben (also die X_n)

- Editiert von schonallesweg am 16.02.2007, 15:17 -

schonallesweg
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Beitrag von schonallesweg » 16.02.2007 16:27

WS05/06 2.

e) Spektrum wird diskret:

\\Large X(\\frac{\\omega}{\\omega_0}) = X(n) = X_n = \\Bigsum_{n=-\\infty}^\\infty   \\frac{n}{\\pi} \\, \\frac{\\cos{(n \\pi)}}{\\frac{9}{4} - n^2}

f) Amplituden und Phasenspektrum
g) Spektrum wird periodisch, bleibt kontinuierlich
h) Nein, denn: -> kontinuierliches Spektrum -> Abtastfrequenz kann nicht unendlich sein -> Aliasing

olm
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Beitrag von olm » 16.02.2007 18:44

WS05/06
1c) da hab ich \\psi=\\frac{1}{2\\,a}*e^{-a\\,\\tau}, weil hier kann ich doch von 0 bis inf integrieren da für t<0 (und damit auch t+tau<0) doch immer null rauskommt

schonallesweg
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Beitrag von schonallesweg » 16.02.2007 19:14

@ olm: Ja das habe ich auch. AKFen sind aber immer gerade. Deine Funktion ist das nicht. Ein Betragsstrich um tau korrigiert das. Aber Vorsicht: wenn du zum berechnen (und setzen der Grenzen) tau<0 wählst dann musst du den gebildeten Betrag zusätzlich negieren.

In der Prüfung musst du das halt schlüssig begründen oder schnell die jeweils andere Variante durchrechnen und die Ergebnisse zusammenführen.

banana_82
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Beitrag von banana_82 » 17.02.2007 12:40

@schonallesweg: Wie hast du dein X(n) berechnet? Ist das Fourier-Koeffizient \\Large X_{n}=\\frac{1}{T}\\int_T{x(t)e^{-jn{\\omega}_0t}}dt

Ich habe nach der Methode die X(n) gerechnet und bekomme dann
\\Large X_{n}=\\frac{3x_0cos(n\\pi)}{2\\pi(\\frac{9}{4}-n^2)}

Habe ich was falsch gemacht? :(

Ich meine immer noch die Aufgabe 2e) (Klausur WS05-06)
PS: Und wie hast du die Amplituden- und Phasenspektral gezeichnet? Außerdem woher weisst du, dass Spektrum kontinuierlich bleibt?
Vielen Dank für die Hilfe ;-)
- Editiert von banana_82 am 17.02.2007, 15:54 -

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Beitrag von banana_82 » 17.02.2007 15:56

[quote]Aufgabe e)

\\Large \\frac{1}{2\\,a} * e^{-3\\,a\\,|\\tau|}  -  |\\tau| \\, e^{a\\,|\\tau|}  +  \\frac{1}{2\\,a}

Ich habe ein Fallunterscheidung tau0 vorgenommen. Das Integral habe ich in 3 Teilintegrale zerlegt. (-inf bis tau, tau bis 0, 0 bis inf (für tau<0))

??? Geplottet sieht es ganz gut aus.[/quote]

Mit deinem Vorschlag habe ich auch die Aufgabe gerade berechnet, bekomme aber ein bisschen anderes Ergbenis raus.

\\Large X(\\omega)= \\frac{1}{2\\alpha}e^{-3\\alpha\\|\\tau\\|}-\\|\\tau\\|e^{\\alpha\\|\\tau\\|}+\\frac{1}{2\\alpha}e^{\\alpha\\|\\tau\\|}

schonallesweg
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Beitrag von schonallesweg » 17.02.2007 20:02

Ja mit Fourierkoeffizient berechnet. Bei meinem X(n) fehlt definitiv das x_0. Woher du die 3/2 hast sehe ich jetzt noch nicht.

[quote]Und wie hast du die Amplituden- und Phasenspektral gezeichnet?[/quote]

Hehe.. wie mann all diese Funktionen zeichnen soll ist mir jedesmal ein Rätsel (Vorallem bei SS06Nr2). Mass man halt für alle n berechnen. Naja Phase ist wenigstens schon mal 0. :-O

[quote]woher weisst du, dass Spektrum kontinuierlich bleibt?[/quote]

Das Ausgangssignal wird abgetastet. Es ist aber immernoch nicht periodisch. Also hat es nach wie vor ein kontinuierliches Spektrum. (Was jetzt allerdings periodisch ist weil das Signal diskret geworden ist. )

[quote]bekomme aber ein bisschen anderes Ergbenis raus[/quote]

Aber dafür das richtige. Ich habe ein tau unterschlagen. tnx. Die erste Fallunterscheidung ist übrigens net wirklich nötig (siehe #12)

schonallesweg
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Beitrag von schonallesweg » 17.02.2007 20:10

WS99-Nr3: Ich habe keine Ahnung wie das geht? Müssten wir das können?

DaSvenna
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Beitrag von DaSvenna » 18.02.2007 16:02

Hier ist die Zusammenfassung unserer Lösungen für die Klausur WS 05/06:

1.a) X(w) = \\frac{1}{a+jw} Re = \\frac{a}{a^2+w^2} Im = - \\frac{w}{a^2+w^2}
b) |X(w)| = \\frac{1}{\\sqrt{a^2+w^2}}
c) \\Psi^E_{XX}(\\tau) = \\frac{1}{2a}e^{-a\\tau}

2. sollte 2. wirklich so schwer sein oder habe ich einfach nur zu kompliziert gedacht?
a) x(t)=x_0 \\cdot \\cos \\left(2\\pi \\cdot \\frac{1}{4a}t \\right) \\cdot rect \\left( \\frac{t}{6a} \\right)
b) Fourierintegral hingeschrieben
c) X(f) = 3ax_0 \\left[ \\delta \\left(f-\\frac{1}{4a}\\right) + \\delta \\left(f+\\frac{1}{4a}\\right) \\right] * si(6\\pi af)
e) Linienspektrum \\frac{1}{6a} \\cdot X(f) \\cdot \\sum^{\\infty}_{\\mu=-\\infty} \\delta \\left(f-\\mu \\frac{1}{6a} \\right)
f) Das Signal von d) im Abstand von 1/6a abgetastet
g) periodisch kontinuierliches
h) nö, da aliasing -> unendliches Signal-> Abtastfrequenz müsste unendlich sein

3.b)g(z) = \\frac{z}{z-\\frac{1}{2}} g(k) = \\left( \\frac{1}{2} \\right)^k
c)H(z) = \\sum^4_{k=0} g(k)z^{-k} = 1+0,5z^{-1} + 0,25z^{-2} + 0,125z^{-3} + 0,0625z^{-4} -> Filter hinmalen
d)z-Trafo von g(k) -> g(z) = \\frac{1}{1-\\frac{1}{2}z^{-1}} -> Filter hinmalen
oder auf H(z) = \\sum^\\infty_{k=0} g(k)z^{-k} die Summenformel der geometrischen Reihe anwenden



- Editiert von DaSvenna am 20.02.2007, 10:49 -

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Beitrag von tobi_IST » 18.02.2007 19:07

bei 1a) hast du im nenner das j zuviel.. das muss da weg ( bei Re und Im)
b)  \\|X(\\omega)\\| = \\frac{1}{\\sqrt{\\alpha^2+\\omega^2}}

mal zu zweitens theoretisch....
x(t)=x_0 cos(\\omega_x t)
Periode des Cosinuswelle:
\\omega_x = \\frac{2\\pi}{4a}

ich hab der Trafo irgendwie nich so erfreuliches ergebnis

X(\\omega)=\\int\\limits_{ - 3a}^{3a}x(t)e^{-j\\omega t}dt= ...
=3a x_0 ( si((\\omega_x - \\omega)3a) + si((\\omega_x + \\omega)3a))

also eigentlich müsste ja ein unkompliziertes ergebins rauskommen, weil man versucht ne cosinuswelle mit ner fourier-trafo, also mit sinus und kosinus darzustellen...
eigentlich müsste das doch n triviales ergebnis sein oder?
wer glaubt das ein Bauleiter einen Bau leitet, der glaubt auch das ein Zitronenfalter Zitronen faltet

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Beitrag von tobi_IST » 18.02.2007 19:33

ach jez seh ich erstma die rect-funktion....
hhmmm... stimmt, damit konnte man ja n funktionsstück rauschneiden...
das leuchtet ein irgendwie...muss ich das immer bei periodischen signalen ranmultiplizieren? und dann über na periode integrieren?
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Beitrag von DaSvenna » 18.02.2007 20:36

[quote]
ich hab der Trafo irgendwie nich so erfreuliches ergebnis

X(\\omega)=\\int\\limits_{ - 3a}^{3a}x(t)e^{-j\\omega t}dt= ...
=3a x_0 ( si((\\omega_x - \\omega)3a) + si((\\omega_x + \\omega)3a))
[/quote]
Das haut schon so in etwa hin. Es ist fast äquivalent zu dem was ich raus habe. Amplitude und Frequenz des si stimmen überein. Nur meine Verschiebung ist irgendwie eine andere...

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Beitrag von tobi_IST » 18.02.2007 20:43

SS06
1.Aufgabe

b)

\\frac{-j2\\omega}{\\alpha^2+\\omega^2}
c) tja.. warum muss das imaginär sein...
weil das ne kosinuswelle is und der cosinusanteil bei der trafo rausfällt???

d)

\\|X(\\omega)\\| = \\frac{2\\omega}{\\alpha^2+\\omega^2}

e)

\\Psi_{XX}^E(\\tau)=\\frac{cos(\\alpha \\tau)}{\\alpha}

2.aufgabe
a)
Nullstelle bei

\\omega_N = \\frac{\\pi}{2\\tau}

c)

X_0=\\frac{2}{\\pi}

d)
ja... die spektrallinien werden periodisch fortgesetzt oder?
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Beitrag von tobi_IST » 18.02.2007 21:37

e)
DFT anwenden
Spektrum wird ein LinienSpektrum N Spektallinien und Linienabstand von 3/T
stimmt das soweit?

f_A=3/T\\\\
1/T_A=3/T\\\\
T_A=T/3\\\\
T_A=2\\tau /3
das heißt N=4 ?


\\Delta t=T/N=\\tau /2

gilt dann(nach Umformung


X_{n,A}=\\frac{1}{N \\Delta t} \\Bigsum_{k=0}^{N-1} x(k) e^{-j2\\pi \\frac{nk}{N}}

was is x(k)? die funktionswerte an der abtaststelle?
wo geht die abtastung los?
bei 0 (Ursprung) oder beim Periodenanfang (-tau)?
oder is das egal?

g)
nein, weil N->oo gehen müsste?!
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Beitrag von tobi_IST » 19.02.2007 10:43

3.Aufgabe

a)

H(z)=\\frac{a_2 z^{-2}+a_1 z^{-1} +a_0}{b_2 z^{-2}+b_1 z^{-1} +1}

b)
Impulsantwort = Übertragungsfunktion * Dirac

c)

H(z)=\\frac{0,5z^{-2}}{0,5 z^{-2}-z^{-1}+1}

wär gut wenn jmd ma stellung bezieht un mich über meine fehler aufklärt :)
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Beitrag von gulli » 19.02.2007 11:21

@tobi_IST.

bei b) könnte man doch auch schreiben das die Fourier Transformierte von der Impulsantwort die Übetragungsfunktion ist!!?

c) ok würde ich nachvollziehen können aber wie bist du drauf gekommen?
durch probieren?

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