Akustik: Lösung einer Differenzialgleichung

Board für die Elektrotechniker
nja
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Akustik: Lösung einer Differenzialgleichung

Beitrag von nja » 02.02.2008 22:07

Tagchen [1],

Ich habe hier die Abschrift der Akustikklausur WS05/06. Die dortige Aufgabe 3 stellt für mich ein unlösbares Problem dar, bei dem mir vielleicht jemand von den Profis behilflich sein möchte 8-):

Für einen Kugelstrahler ergibt sich die Wellen-PDGL wie folgt:

\\Large \\frac{1}{r^2}\\frac{\\partial}{\\partial r}\\ (r^2 \\frac{\\partial p}{\\partial r})\\ -\\ \\frac{1}{c^2} \\frac{\\partial p^2}{\\partial t^2}\\ =\\ 0

Wird die PDGL durch folgende Gleichung erfüllt?

\\Large p(r,t)\\ =\\ \\frac{\\rho \\omega q_0}{4 \\pi r} \\sin(\\omega t-kr)

Wie geh ich an dieses Differenzialmistzeugs ran?!


--
1: Ich bin Medieninformatiker und hab von dem ganzen ET-Kram nich wirklich Plan -- dummerweise jedoch als Nebenfach, deswegen hier die Frage.
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Beitrag von MrGroover » 02.02.2008 22:30

Einsetzen (gegebenes p in DGL), ausrechnen und gucken, ob das Ergebnis stimmt...

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Beitrag von nja » 03.02.2008 11:30

... und wie leite ich nach mehreren Veränderlichen ab?
blubb

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Beitrag von MrGroover » 03.02.2008 13:35

Habt ihr als MedInfs sowas nicht in Mathe? Das ist hier eigentlich stinknormales Ableiten mit Beachtung sonstiger Rechenregeln, also erst den Kram in Klammern ableiten. Wenn du nach r ableiten sollst, dann betrachtest du alles andere außer r als konstant (t ist keine Funktion von r), natürlich behalten alle anderen Gesetzmäßigkeiten bei Ableitungen weiterhin ihre Bedeutung (Produktregel, Kettenregel). Normales Ableiten sollte eigentlich hinreichend bekannt sein, da genügt Abiwissen Klasse 11 oder 12.

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Beitrag von nja » 03.02.2008 13:58

Ja, Mathe schon. Ableiten an sich ist nicht das Problem. Nur der Ansatz für die Ableitung nach zwei Veränderlichen fehlte mir. Allerdings habe ich jetzt erkannt, dass man jeweils nur nach einer Veränderlichen ableiten brauch, um das letztlich in die WGL einsetzen zu können.

Generell haben (M)Infs eher diskrete Mathematik und nich so viel Integral- und Differnzialzeug. Z.B. hab ich im Nebenfach zum ersten Mal Doppelintegrale lösen müssen... Außerdem ist mein Studiumsmathe schonwieder 2 Jahre her ... da ist nicht mehr allzu viel übrig :-\\
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Beitrag von MrGroover » 03.02.2008 21:54

Was darf man denn unter \"diskreter Mathematik\" verstehen? Sowas wie in Systemtheorie und Signalverarbeitung dran kommt?

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Beitrag von Dennis » 04.02.2008 18:02

Ich denke mal sowas wie Codierungstechnik kann man sich darunter vorstellen.
Ich verstehe dennoch das Problem nicht ganz. In der DGL ist eine zweifache Ableitung (einmal ableiten und dann noch einmal) und ein Term, bei dem man einfach nur die Reihenfolge gemäß der Klammersetzung beachten muss (also von innen nach außen wenn man so will).

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Beitrag von nja » 05.02.2008 12:10

ich habe meine Verständnisprobleme erstmal aus der Welt geschafft. Nach Ableiten und Einsetzen komme ich auf den Term

\\large \\frac{1}{2}\\ \\arcsin(\\frac{3}{2})\\ =\\ \\omega t - kr

Somit wird die PDGL nicht erfüllt. Kann mir das jemand bestätigen? Am besten blos mal in das symbolische Lösungssystem des Taschenrechners eingeben, den ihr E-Techniker ja alle zu besitzen scheint :D
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Dennis
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Beitrag von Dennis » 05.02.2008 13:42

Bei dieser Aufgabe wird die DGL erfüllt, die hatte ich damals zur Prüfungsvorbereitung auch gerechnet. Man muss berücksichtigen, dassk=\\omega/c gilt, dann ergibt sich die linke Seite der DGL zu 0 -> DGL erfüllt

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Beitrag von nja » 05.02.2008 13:52

das habe ich auch schon versucht anzuwenden. Allerdings passiert ja erstmal garnix^^ Ist denn meine Zwischenlösung erstmal korrekt, oder liegt der Fehler davor? Du hast die Rechnung von damals nicht zufällig noch da? :-O
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Beitrag von mrg007 » 05.02.2008 13:53

Also wenn du schon den TI hast dann mach dir doch das leben nicht schwer.

Du tippst p(r,t) in dein rechner ein und speicherst das am besten ab. Dann differenzierst du es nach r multiplizierst es mit r² differenzierst wieder nach r und teilst durch r². Genau das sagt ja der erste Teil der DGL. Danach differenzierst du das Gespeicherte 2 mal nach t und teilst durch c². Der Trick an der ganzen Sache ist , die Konstante k durch w/c zu ersetzen. Das ist nämlich die Wellenzahl. Danach solltest du zwei identische Terme stehen haben und die DGL ist somit erfüllt und du hast es nachgewiesen. Das is alles.

So nun hab ich ne Frage:

Bei den mechanischen Schwingkreisen soll man ja immer nen mechanisches Schema malen und dann die Schaltung bestimmen. Ich frag mich nur grad von was sich die Abbildung die gegeben ist von dem mechanischen Schema unterscheidet?? Also was soll ich da hinmalen? Das is doch schon nen mechanisches Schema oder nich? Bin da bissl ratlos.

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Beitrag von nja » 05.02.2008 14:05

[quote=MrG007]Also wenn du schon den TI hast dann mach dir doch das leben nicht schwer.[/quote]

Hab ich aber nicht - deswegen ja hier auch die Frage ... Aber wenn du mir sagst, dass es geht, dann weiß ich, dass ich was falsch gemacht hab .:(

[quote=MrG007]Bei den mechanischen Schwingkreisen soll man ja immer nen mechanisches Schema malen und dann die Schaltung bestimmen. Ich frag mich nur grad von was sich die Abbildung die gegeben ist von dem mechanischen Schema unterscheidet?? Also was soll ich da hinmalen? Das is doch schon nen mechanisches Schema oder nich? Bin da bissl ratlos.[/quote]

Ich seh als einzigen Unterschied, dass man F_0 durch das andere Symbol ersetzen könnte und v.a. die Massen auch mit nach unten führen. Schaltung is ja dann analog dazu.
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Beitrag von Bernie » 05.02.2008 14:11

kann mir mal bitte jemand den link zu den alten klausuraufgaben geben?

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Beitrag von nja » 05.02.2008 14:19

Eine kleine Merkliste:

Klausur: Klausurabschrift
Lösungsthreads: 1, 2, 3


btw: es gibt eine Forensuche :D
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Beitrag von nja » 05.02.2008 15:56

Nochmal zur Aufgabe 3 der Klausur:

Ich habe meine Ableitungen nochmal gemacht und komme nun auf folgende Ableitungen:

\\large
\\begin{eqnarray}

\\frac{\\partial p}{\\partial r}\\ &=&\\ \\frac{\\rho \\omega q_0}{4 \\pi}\\ \\left( -\\frac{1}{r^2}\\ \\sin(\\omega t-kr)\\ -\\ \\frac{k}{r}\\ \\cos(\\omega t-kr) \\right)
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\frac{\\partial}{\\partial r}\\left(r^2\\frac{\\partial p}{\\partial r}\\right)\\ &=&\\ k\\frac{\\rho \\omega q_0}{4 \\pi}\\ \\left( \\sin(\\omega t-kr)\\ -\\ \\cos(\\omega t-kr)\\ -\\ kr\\ \\sin(\\omega t-kr) \\right)
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\frac{\\partial p^2}{\\partial t^2}\\ &=&\\ -\\frac{\\rho \\omega^3 q_0}{4 \\pi r}\\ \\sin(\\omega t-kr)

\\end{eqnarray}

Stimmt das bis dahin? Wenn ich diese dann in die Wellengleichung einsetze komme ich am Ende auf folgenden Ausdruck:

1\\ =\\ \\cot(\\omega t-kr)

Kann ich daraus nun schließen, dass die WGL erfüllt ist (weil eine Seite 0 ist) oder nicht? Ist das korrekt oder ist mir doch noch ein Fehler unterlaufen?
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mrg007
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Beitrag von mrg007 » 05.02.2008 15:57

Ah ok, ich habs gefunden. Skript letzter Teil Seite 5. Also ist das mechanische Schema zu der elektrischen Schaltung analog.

Ja die DGL ist erfüllt, das lässt sich sicher auch mit bisschen mehr Aufwand schriftlich nachweisen. Wichtig ist wie gesagt k=w/c (wobei hier w ein omega sein soll ;-))

Viel Erfolg morgen.

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Beitrag von mrg007 » 05.02.2008 19:43

Hast du Matlab drauf? Ich will hier nich alles nachrechnen, aber Matlab und auch mein Taschenrechner haben schon bei der ersten Ableitung das - vor dem cosinus nicht.

In Matlab wäre das so:
f=\'x^2\'
diff(f,\'x\')

Also schau dir deine Ableitungen nochmal an. Ich denk dir is nen Fehler unterlaufen.

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Beitrag von nja » 05.02.2008 19:46

Matlab hab ich nicht. Danke für deinen Hinweis! Ich checks nochmal.
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Beitrag von nja » 05.02.2008 21:02

Ich finde einfach keinen Fehler... Das ist die Ausgangsformel:

\\Large
p(r,t)\\ =\\ \\frac{\\rho \\omega q_0}{4 \\pi}\\ r^{-1}\\ \\sin(\\omega t-kr)

Das sind die Parameter der Produktregel (uv)\' = u\'v + uv\':

\\Large
\\begin{eqnarray}
u\\ &=&\\ r^{-1}
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\frac{\\partial u}{\\partial r}\\ &=&\\ -r^{-2}
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
v\\ &=&\\ \\sin(\\omega t-kr)
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\frac{\\partial v}{\\partial r}\\ &=&\\ \\cos(\\omega t-kr) (-k)
\\end{eqnarray}

Wenn man dann einsetzt erhält man (in kleinen Schritten):

\\Large
\\begin{eqnarray}
\\frac{\\partial p}{\\partial r}\\ &=&\\ \\frac{\\rho \\omega q_0}{4 \\pi}\\ \\Big( -\\frac{1}{r^2}\\ \\sin(\\omega t-kr)\\ +\\ (\\frac{1}{r}\\ \\cos(\\omega t-kr)(-k))\\Big)
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\frac{\\partial p}{\\partial r}\\ &=&\\ \\frac{\\rho \\omega q_0}{4 \\pi}\\ \\Big( -\\frac{1}{r^2}\\ \\sin(\\omega t-kr)\\ +\\ (-\\frac{k}{r}\\ \\cos(\\omega t-kr))\\Big)
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
\\frac{\\partial p}{\\partial r}\\ &=&\\ \\frac{\\rho \\omega q_0}{4 \\pi}\\ \\Big( -\\frac{1}{r^2}\\ \\sin(\\omega t-kr)\\ -\\ \\frac{k}{r}\\ \\cos(\\omega t-kr)\\Big)
\\end{eqnarray}

Ich seh einfach nicht, wo dort das Minus zu viel rein gekommen sein sollte :O
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Beitrag von MrGroover » 05.02.2008 21:34

Wenn du schon keinen TI hast, und auch kein Matlab, dann solltest du dir mal Maxima angucken http://de.wikipedia.org/wiki/Maxima_%28 ... asystem%29 Damit kann man auch sehr schön symbolisch rechnen... Außerdem solltest auch mit auf die Einheiten achten... \\omega k -kr gibt nicht viel Sinn...

Deine Ableitung nach r und der kram drumrum sollte sowas ergeben:
{{r^2\\,\\left(-{{\\omega^3\\,{\\it q_0}\\,\\rho\\,\\sin \\left(\\omega\\,t- {{\\omega\\,r}\\over{c}}\\right)}\\over{4\\,c^2\\,\\pi\\,r}}+{{\\omega\\, {\\it q_0}\\,\\rho\\,\\sin \\left(\\omega\\,t-{{\\omega\\,r}\\over{c}}\\right) }\\over{2\\,\\pi\\,r^3}}+{{\\omega^2\\,{\\it q_0}\\,\\rho\\,\\cos \\left( \\omega\\,t-{{\\omega\\,r}\\over{c}}\\right)}\\over{2\\,c\\,\\pi\\,r^2}}\\right) +2\\,r\\,\\left(-{{\\omega\\,{\\it q_0}\\,\\rho\\,\\sin \\left(\\omega\\,t-{{ \\omega\\,r}\\over{c}}\\right)}\\over{4\\,\\pi\\,r^2}}-{{\\omega^2\\, {\\it q_0}\\,\\rho\\,\\cos \\left(\\omega\\,t-{{\\omega\\,r}\\over{c}}\\right) }\\over{4\\,c\\,\\pi\\,r}}\\right)}\\over{r^2}}
Welches sich zu -{{\\omega^3\\,{\\it q_0}\\,\\rho\\,\\sin \\left({{c\\,\\omega\\,t-\\omega\\,r }\\over{c}}\\right)}\\over{4\\,c^2\\,\\pi\\,r}} ergibt. Das ist dann ungefähr das, was die Ableitung nach t ergibt, mit 1/c^2...

P.S.: Wer sich den Quelltext der Formeln anschaut, das ist reinstes TeX, gibt Maxima aus... ;-)
- Editiert von MrGroover am 05.02.2008, 21:40 -

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Beitrag von nja » 05.02.2008 22:01

Hab die Formel oben korrigiert ... Typo

Ich hab mir gerade Eigenmath runtergeladen. Das ist ein ganz kleines Computer-Algebra-Tool. Dieses hat zwar eine eigenwillige Formeldarstellung, aber es reicht aus.

Jedenfalls bestätigt mir dieses Programm meine erste Ableitung nach r... Kein überflüssiges Minus zu finden. Lag das vielleicht an automatisch aufgelösten Symmetrien ? z.B.:

\\sin(\\omega t-kr)\\ =\\ -\\sin(kr-\\omega t)

Ich check mal meine anderen Ableitungen durch... Irgendwo muss ja der Fehler sein.
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Beitrag von friedrich » 05.02.2008 22:03

Falls noch Bedarf an der Ableitung besteht, würde ich mal meine Lsg ins LaTex tippen.

Ich habe durch (geschicktes Substituieren) einen recht kurzen Lösungsweg ohne viel Sinus und Kosinus. Passt handgeschrieben auf eine Seite.

Tschüss,
Friedrich

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Beitrag von nja » 05.02.2008 22:19

Fehler gefunden: Die Ableitung

\\large
\\frac{\\partial}{\\partial r}\\left(r^2\\frac{\\partial p}{\\partial r}\\right)\\ =\\ k\\frac{\\rho \\omega q_0}{4 \\pi}\\ \\left( \\sin(\\omega t-kr)\\ -\\ \\cos(\\omega t-kr)\\ -\\ kr\\ \\sin(\\omega t-kr) \\right)

ist falsch. Sie muss lauten:

\\large
\\frac{\\partial}{\\partial r}\\left(r^2\\frac{\\partial p}{\\partial r}\\right)\\ =\\ -k^2r\\frac{\\rho \\omega q_0}{4 \\pi}\\ \\sin(\\omega t-kr)

Mal sehen, obs jetzt bis zum Ende funktioniert ...
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Beitrag von nja » 05.02.2008 22:21

[quote=friedrich]Ich habe durch (geschicktes Substituieren) einen recht kurzen Lösungsweg ohne viel Sinus und Kosinus. Passt handgeschrieben auf eine Seite.[/quote]

An einer eleganten Substitution hätte ich im Hinblick auf morgen großes Interesse :D
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Beitrag von nja » 05.02.2008 22:25

1\\ =\\ 1

Endlich.
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Gesperrt

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