Signalverarbeitung Klausuraufgabe

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nja
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Signalverarbeitung Klausuraufgabe

Beitrag von nja » 16.02.2008 22:47

Tagchen,

ich rechne gerade die SigV-Klausur WS05/06 und komme bei 2c) zwar zu einer Lösung, jedoch scheint mir der Lösungsweg sehr umständlich. Die Ausgangsfunktion lautet ja

\\Large
x(t)\\ =\\ x_0 \\cos(\\omega t) für -3a <= t <= 3a.

Wenn ich diese in die Fourier-Trafo

\\Large
X(\\omega)\\ =\\ \\Bigint_{-\\infty}^{\\infty} x(t)\\ e^{-j \\omega t}\\ dt

einsetze, bekomme ich dieses Integral:

\\Large X(\\omega)\\ =\\ x_0\\ \\Bigint_{-3a}^{3a} \\cos(\\omega t)\\ e^{-j \\omega t}\\ dt

Partielle Integration hilft ja an dieser Stelle nicht sonderlich weiter, so dass ich mit EULER den Integranten wie folgt vereinfachen kann:

\\Large
\\cos(\\omega t)\\ e^{-jt\\omega t}\\ =\\ \\cos^2(\\omega t)\\ -\\ \\frac{1}{2}j\\ \\sin(2 \\omega t)

Dann kann man das Integral mit viel Liebe zum Detail und Möglichkeit zum Fehler ausrechnen.

Gibt\'s da einen besseren Weg über Spaltfunktionen oder so?
blubb

waldmaster
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Beitrag von waldmaster » 17.02.2008 10:54

man kann sich das Ganze etwas vereinfachen, da x(t) ja gerade ist darf man folgende Formel zur Berechnung von X(w) verwenden (Buch S. 115):
\\Large X(\\omega)\\  =\\ 2\\ \\Bigint_{0}^{\\infty} x(t)\\cos\\omega t\\  dt

Somit hat man dann nur ein Produkt von Cosinusen im Integral, welche man als Summe darstellen kann.

letzendlich hab ich

\\Large X(\\omega)\\  =\\  \\frac{3ax_0}{2}

nja
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Beitrag von nja » 17.02.2008 11:48

du hast aber auf alle Fälle zu weit gerechnet. Ich vermute du hast zwischenzeitlich die Werte für Omega eingesetzt. Dummerweise ist dein Endergebnis gar nicht mehr von Omega abhängig ;-)

Mein Endergebnis nach langem manuellen Rumfuchteln und alles bestätigt durch ein CA-System ist folgendes:

\\Large
X(\\omega)\\ =\\ 3 \\alpha x_0\\ (1\\ +\\ si(6 \\alpha \\omega))
blubb

nja
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Beitrag von nja » 17.02.2008 12:03

[quote=waldmaster]man kann sich das Ganze etwas vereinfachen, da x(t) ja gerade ist darf man folgende Formel zur Berechnung von X(w) verwenden (Buch S. 115):
\\Large X(\\omega)\\  =\\ 2\\ \\Bigint_{0}^{\\infty} x(t)\\cos\\omega t\\  dt
[/quote]

Kannst du dir diese großen Tabellen mit den vielen Formeln alle merken? Schließlich kann man ja nix weiter als die Formelsammlung mit reinnehmen, in der sich allerdings kaum etwas nützliches findet...

[quote=waldmaster]
Somit hat man dann nur ein Produkt von Cosinusen im Integral, welche man als Summe darstellen kann.
[/quote]

Wie stellst du das als Summe dar?
blubb

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Beitrag von MrGroover » 17.02.2008 17:37

Dummerweise ist so recht keine schöne Korrespondenz für die FT von e^{j\\omega t} in der Formelsammlung gegeben (da sollte eigentlich ein verschobener Dirac stehen, siehe Wiki). Den Cosinus kann man dank \\cosh(jx) durch zwei e^{\\pm jx}-Terme ersetzen. Laut NT, 4. Semester, ist die FT vom Cos die skalierte Summe zweier verschobener Dirac-Impulse. (Und an dieser Stelle sind nachher die sincs zu finden).

waldmaster
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Beitrag von waldmaster » 18.02.2008 16:49

[quote]Zitat von waldmaster:

Somit hat man dann nur ein Produkt von Cosinusen im Integral, welche man als Summe darstellen kann.


Wie stellst du das als Summe dar?[/quote]

cos a * cos b = 1/2(cos (a-b) + cos (a+b))

[quote]Dummerweise ist so recht keine schöne Korrespondenz für die FT von e^{jwt} in der Formelsammlung gegeben [/quote]
also in der Übung haben wir das ja oft dann über EULER als SUmme von cos und sin geschrieben, damit läßts sich doch rechnen...

So kompliziert sind die vereinfachten Formeln für gerade/ungerade Funktionen ja nun auch nicht und sie wurden ja auch in den Übungen recht oft verwendet...

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Beitrag von MrGroover » 18.02.2008 21:22

Auch wenn die Formeln einfach sein mögen, die Frage ist am Ende immer noch, wie man sauber auf die zwei Diracs kommt, an denen dann eine Spaltfunktion liegt. In der Klausur hab ich das damals nicht hinbekommen...

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