Systemtheorie 3

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tobi_IST
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Beitrag von tobi_IST » 16.02.2007 16:42

Systemtheorie3 12. Übung Z13

gesucht ist

S_{X\\dot{X}}(\\omega)
also

S_{X\\dot{X}}(\\omega) =\\mathfrak{F}\\{s_{X\\dot{X}}(\\tau)\\}=\\mathfrak{F}\\{{d}/{d\\tau}  s_{X}(\\tau)\\} = \\mathfrak{F} \\{\\dot{s}_X (\\tau)\\} =j\\omega \\mathfrak{F}\\{s_X(\\tau)\\} = j\\omega S_X(\\omega)

kann das jemand bestätigen?
wer glaubt das ein Bauleiter einen Bau leitet, der glaubt auch das ein Zitronenfalter Zitronen faltet

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Beitrag von tobi_IST » 16.02.2007 16:55

achso... was ich vllt noch dazuschreiben sollte

laut korrespondenztabelle
\\mathfrak{F}\\{\\dot{x}(t)\\} = j\\omega X(\\omega)
wer glaubt das ein Bauleiter einen Bau leitet, der glaubt auch das ein Zitronenfalter Zitronen faltet

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Friedl
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Beitrag von Friedl » 16.02.2007 18:25

ja kann ich bestätigen!
und bei der b) nicht wundern, einfach nur einsetzen fertig.
Der Fuchs schläft nicht, er schlummert nur!

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Beitrag von tobi_IST » 17.02.2007 09:20

gut, hab mich schon biossl gewundert, weil das ja nu alles andere als schwierig is das einfach einzusetzen...
lösung für 3.teilaufgbe bei a:

S_{\\dot{X}} = -(j\\omega)*(j\\omega) \\mathfrak{F}\\{s_X(\\tau)\\}
?
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Beitrag von tobi_IST » 17.02.2007 11:08

so... noch ne frage....
ich komme bei 2 Z-Aufgaben nich weiter...
bei der Z5 (4.Übung) ist Varianz und Mittelwert gegeben und man soll die Dichtefunktion bestimmen.
komm ich nich auf nen ansatz....

und die Z16 (15.Übung)
gegeben ist ein Vierpol und man soll S_U1(w), S_U2(w) und S_U1U2(w) bestimmen
die letzte Seite der Formelsammlung is ja am anfang ganz hilfreich...
allerdings sind das ja 3 matrix-multiplikationen, und die mittlere hat man ja nich... oder?

andrer ansatz
S_U2(w)= |G(jw)|^2 * S_U1(w)
allerdings hat man ja S_U1(w) nich gegeben.... und allg soll mans bestimmt nich machen...

irgendjemand ne idee?
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Beitrag von Friedl » 17.02.2007 11:28

Z5:
du solltest dort wissen was GLEICHVERTEILUNG ist.
E(X)=(a+b)/2
Var(X)=(a+b)²/12
f_X(x)=1/(b-a)

a und b bestimmen aus den ersten beiden gleichungen. dann f ausrechnen und zeichnen (wird nur ein viereck-->gleichverteilung => f(x)=konstant in einem bestimmten intervall)

Z16:
vereinfachung der zweige (der T-Schaltung) nach formelsammlung seite 53.
somit bekommt man ein t-schaltung mit:
linker zweig -> R und U_rausch_R
mittelzweig -> Z_ab und U_rausch_Z
rechter zweig -> nix (nur leiter)

Z_ab ist die parallelschaltung von R und C

mit diesem Schaltbild kannst du analog zur Vorlesung rechnen (Mitschrift vom 18.01. Punkt 10.3.3 römisch 3 \"RLC-Vierpol\")

viel spaß noch beim rechnen
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Beitrag von tobi_IST » 17.02.2007 14:04

k danke.... aber mitschrift... *hust*
war zu keiner vorlesung :-O

bis zu der T-Ersatzschaltung bin ich auch schon gekommen

S_U_R=2*k*T*R
S_U_Z= 2*k*T*R / ( 1+ (\\omega CR)^2)

und nun?

- Editiert von tobi_IST am 17.02.2007, 14:41 -
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Beitrag von Friedl » 17.02.2007 18:00

über die korrelationsfunktion (bzw. Erwartungswerte) kannst du dir das ausrechnen.

wir haben das in der übung selbst anders gerechnet sehe ich grad ;-)
S_Uy(w)=|G(jw)|^2*S_Ux(w)
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Beitrag von tobi_IST » 17.02.2007 19:50

Die Formel hat ich ja schonma geschrieben
das Problem is, das man S_Ux(w) nich gegeben hat ;)

man soll aber S_Ux(w) und S_Uy(w) berechnen...

so ne aufgabe hatten wir in der übung nich

is damit nun

S_U_2(\\omega)=S_U_Z(\\omega) 
?
und

S_U_1(\\omega)=S_U_R(\\omega) + S_U_Z(\\omega)
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Beitrag von tobi_IST » 17.02.2007 19:57

und die matrixmultiplikation auf seite 59 in der formelsammlung kann ich ja auch schlecht machen

mensch mensch... wie geht das...
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Beitrag von Dennis » 17.02.2007 20:06

Nochmal zur Z.13:
bei S_{XX^{\'}}(\\omega) ist das -j \\omega S_X(\\omega)
Setz mal das s_{XX^{\'}}(\\tau) aus der Formelsammlung in die Fouriertransformationsvorschrift ein!

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Beitrag von tobi_IST » 17.02.2007 20:24

@tscherno


s_{XX^{\'}}(\\tau)=\\frac{d}{d\\tau} s_X(\\tau)

das minus war bei


s_{\\dot{X}X}(\\tau)= -\\frac{d}{d\\tau} s_X(\\tau)
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Beitrag von Dennis » 17.02.2007 23:21

s_{XX^{\'}}(\\tau) = \\frac{d}{d\\tau}s_x(\\tau)
S_{XX^{\'}}(\\omega)=\\int_{-\\infty}^{\\infty} \\frac{d}{d\\tau} s_x(\\tau) e^{-j \\omega \\tau} d\\tau = \\int_{-\\infty}^{\\infty}  s_x(\\tau) \\frac{d}{d\\tau} e^{-j \\omega \\tau} d\\tau =\\int_{-\\infty}^{\\infty} s_x(\\tau) (-j\\omega) e^{-j\\omega \\tau}d\\tau =-j\\omega S_X(\\omega)

Einwände? (gerne!;-) )
- Editiert von tscherno am 17.02.2007, 23:41 -

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Beitrag von tobi_IST » 18.02.2007 10:30

hhmmmm
ma so allg frage...
1.warum verschiebst du einfach den ableitungsoperator
2.warum leitest du nur exp(-jwt) ab und nich s_x(t) auch,weils ja nu auch von t abhängt... also produktregel
3. was is dann daran falsch
S_{X\\dot{X}}(\\omega) =\\mathfrak{F}\\{s_{X\\dot{X}}(\\tau)\\}=\\mathfrak{F}\\{{d}/{d\\tau} s_{X}(\\tau)\\} = \\mathfrak{F} \\{\\dot{s}_X (\\tau)\\} =j\\omega \\mathfrak{F}\\{s_X(\\tau)\\} = j\\omega S_X(\\omega) ?
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Beitrag von ChriSchu » 18.02.2007 11:56

Ich habe mich auch mal an der Herleitung probiert und bin zu folgendem Ergebnis gekommen:
\\dot X\\left( \\omega  \\right) = \\int\\limits_{ - \\infty }^\\infty  {\\dot xe^{ - j\\omega t} dt}  = \\left. {xe^{ - j\\omega t} } \\right| + j\\omega \\int\\limits_{ - \\infty }^\\infty  {xe^{ - j\\omega t} dt}  = j\\omega  \\cdot X\\left( \\omega  \\right)

Der Trick ist die Anwendung der partiellen Integration. Der erste entstehende Term ergibt sich laut Bedingung an die zu fouriertransformierende Funktion zu 0. Damit bleibt genau die Ableitregel der Fouriertransformation übrig.

Die Ableitung darf nicht einfach im Integral verschoben werden. Zumal die Funktion s(tau) von tau abhängt.

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Beitrag von tobi_IST » 18.02.2007 12:13

joar... find ich auch logischer
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Beitrag von Maiko » 18.02.2007 12:56

Was kommt dann aber für


S_{\\dot{x}}

raus?
"Ist man in kleinen Dingen nicht geduldig, bringt man die großen Vorhaben zum Scheitern."

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Beitrag von Dennis » 18.02.2007 13:05

ja, ich auch, nur eine Frage:
Was passiert mit dem Term x \\cdot e^{-j \\omega t} an der Grenze -oo?
Da strebt doch der Term gegen oo, oder?

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Beitrag von Friedl » 18.02.2007 13:38

S_XX\'(w) = int( s_XX\' * exp(-jwt) )dt

s_XX\' = -(d/dt)* s_X(t)

also bildet man erst die ableitung von -s_X(t)*exp(-jwt)
dann alles was nicht von t abhämgt vor das integral und dann steht da nur noch die transformation von s_X(t) --> S_X(w)

oder sehe ich das falsch?

Also ist:
S_XX\'(w)=S_X(w)*jw
S_X\'X(w)=S_X(w)*(-jw)
S_X\'(w) =S_X(w)*w^2

fertig :-D
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Beitrag von ChriSchu » 18.02.2007 14:32

Zur Beantwortung der beiden Fragen:

1. Was ergibt sich für S_xdot:
Das was alle schon veröffentlicht haben => S_XX\'(w)=S_X(w)*jw
Ich habe nur die Herleitung von Tscherno berichtigt

2. Was passiert an den Grenzen bei unendlich
Eine Voraussetzung dafür, dass man eine Funktion fouriertransformieren darf, ist dass sie im unendlichen verschwindet.
e^jw ist vom Betrag her beschränkt (=1) und x(+-inf) wird 0 somit wird der ganze Term 0

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Beitrag von Dennis » 18.02.2007 15:31

klingt einleuchtend

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