[MA]-Klausurvorbereitung

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FSW
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[MA]-Klausurvorbereitung

Beitrag von FSW » 13.07.2013 11:54

Hallo zusammen,
Ich möchte euch ermuntern, bei Fragen zur Klausurvorbereitung, diese hier zu posten. Das hat den Vorteil, dass mehrfach auftretende Fragen nur einmal beantwortet werden müssen und ggf. mehrere Meinungen zur Lösungsfindung beitragen können. Weiterhin empfehle ich die Formelfunktion zu nutzen, die mit LaTeX gefüllt werden kann. Diese Sprache zum Setzen von Texten ist in den meisten Professuren bei den Anfertigung von Studienarbeit / Diplom gefordert. Je eher man damit anfängt, desto besser meiner Meinung nach.

Viele Grüße Frank
Zuletzt geändert von FSW am 16.07.2013 07:45, insgesamt 1-mal geändert.
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ThatGuy
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Re: [MA]-Klausurvorbereitung

Beitrag von ThatGuy » 15.07.2013 11:37

FSW hat geschrieben:Ich möchte euch ermuntern, bei Fragen zur Klausurvorbereitung, diese hier zu posten. Das hat den Vorteil, dass mehrfach auftretende Fragen nur einmal beantwortet werden müssen und ggf. mehrere Meinungen zur Lösungsfindung beitragen können.
Dem kann ich nur beipflichten. Das hilft auch den Tutoren sich entsprechend auf die Konsultationstermine vorzubereiten, die mittlerweile übrigens (bis auf die konkreten Räumlichkeiten) feststehen und auf der Webseite von Prof. Wensch veröffentlicht sind. Dort findet man außerdem noch einige Musterlösungen zur Klausurvorbereitung.

Vermute mal, dass es da noch einige Fragen zu beantworten gibt. Insbesondere zu den wichtigen Themen Differentialgleichungen und -Gleichungssystemen, die jetzt am Ende des Semesters von Prof. Wensch noch schnell durchexerziert werden und mit Sicherheit einen Teil der Klausur stellen. Gerade diese Woche ist das Übungspensum ziemlich ambitioniert (meinen alten Aufzeichnungen zufolge war die Menge an Aufgaben ursprünglich mal auf zwei Wochen verteilt), sodass man entweder alles nur oberflächlich erklären kann oder nicht alle Aufgaben schafft.

PavelNed
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Re: [MA]-Klausurvorbereitung

Beitrag von PavelNed » 15.07.2013 20:07

Vielen Dank erstmal für die Info!
Ok dann fange ich mal an. Ist zwar noch nen haufen Zeit, aber ich beschäftige mich schon damit. Die erste Frage ist direkt zu der Matrix- Frage von Prof. Wensch :P
Bekommt man die geometrische Vielfalt heraus, in dem man ableitet? D.h. wenn die erste Ableitung ungleich 0 ist, dann hat es die Vielfalt 1. Oder war das was anderes? Falls nein, wäre die Matrix wohl diese:
\begin{pmatrix}2 & 0 \\0 & 2 \\ \end{pmatrix} (Sorry, in Latex arbeite ich mich noch ein)

Zweite Frage: Ich habe eine Übungsaufgabe zu Rotationskörpern gerechnet. Im Merziger steht für das Volumen um die Y-Achse die Formel
V = 2 \pi \int\limits x \cdot f(x) \mathrm{d}x
In der Aufgabe wurde allerdings mit der Formel gerechnet:
V = \pi \int\limits x \cdot g(y) \mathrm{d}y wobei x \cdot g(y)=  {\left[g(y)\right]}^2 Wiederum sorry, dass ich nicht Latex nutze.

Die beiden Formeln scheinen ja nun äquivalent zu sein(?). Für die zweite Formel (dy) setze ich die Grenzen von y ein. Aber für die erste Formel (dx) setze ich die Grenzen von x ein, ist das richtig? Bin mir da gerade etwas unsicher, nach y zu integrieren scheint mir logischer, steht aber irgendwie nicht im Merziger..

Aufgabe: Von " Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler - Klausur- und Übungsaufgaben " von Lothar Papula (In der Slub zu finden)

Aufg. C40
Das zwischen dem Kreis x^2 + y^2 = 16 und der Parabel y =\frac {x^2}{6} gelegene Flächenstück erzeugt bei Drehung um die Y-Achse einen Rotationskörper. Wie groß ist das Rotationsvolumen ?
Lösung: V=\frac{76}{3}\pi
Zuletzt geändert von PavelNed am 16.07.2013 17:05, insgesamt 5-mal geändert.

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Re: [MA]-Klausurvorbereitung

Beitrag von FSW » 16.07.2013 08:53

Hallo PavelNed,

das mit der Latex-Nutzung war ja nur ein Vorschlag von mir, mit der edit-Funktion kannst du dir ja gerne mal ansehen, wie der Herr Oberlander das gesetzt hat.

Zu deiner zweiten Frage: Kannst du bitte noch die Nummer der Übungsaufgabe ergänzen, auf die du dich beziehst? Zu den Formeln: direkt neben der für die Rotation um die y-Achse steht die Formel für Rotation um die x-Achse. Da ein Rotationkörper symmetrisch ist, kannst du einfach x mit y vertauschen und die andere Formel nehmen.

V = 2 \pi \int\limits_a^b x_1 f(x_1)dx_1

ist das Volumen eines Rotationskörpers, der entsteht, wenn eine Funktion f(x_1) um die x_2 Achse rotiert. Hast du ein g(x_2), welches auch um die x_2-Achse rotiert, dann benutzte

V = \pi \int\limits_c^d g^2(x_2)dx_2.

Die erste Formel ist also dafür da, wenn du eine Funktion in Abhängig einer Koordinatenrichtung gegeben hast, und die Funktion rotiert um genau die andere Koordinatenrichtung.
Die zweiten Formel benutzt man dann, wenn das Argument von f und die Rotationsachse die Gleiche Koordinate ist.
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Re: [MA]-Klausurvorbereitung

Beitrag von ThatGuy » 16.07.2013 09:40

PavelNed hat geschrieben:Im Merziger steht für das Volumen um die Y-Achse die Formel
[...]
Die beiden Formeln scheinen ja nun äquivalent zu sein(?). Für die zweite Formel (dy) setze ich die Grenzen von y ein. Aber für die erste Formel (dx) setze ich die Grenzen von x ein, ist das richtig? Bin mir da gerade etwas unsicher, nach y zu integrieren scheint mir logischer, steht aber irgendwie nicht im Merziger..
Bei der Volumenberechnung von Rotationskörpern mache ich es mir eigentlich gerne einfach und merke mir nur die Gleichung für Rotation einer Funktion f=y(x) um die x-Achse.
V_x=\pi\int\limits_a^by^2(x)\mathrm{d}x
Dafür muss man (vielleicht) nicht unbedingt mal im Tafelwerk nachschauen, sondern kann die in ein, zwei Zeilen auch selbst kurz herleiten. Was man macht ist im Grunde ja nix anderes als die Volumina vieler schmaler Zylinder aufzusummieren (bzw. integrieren), die bei Rotation des Graphen um die x-Achse entstehen. Das differentielle Volumen bestimmt sich aus Kreisfläche (Radius r=y-Koordinate) und Höhe (h=infinitesimal kleines dx) zu
\mathrm{d}V=\pi r^2h=\pi y^2\mathrm{d}x
Schließlich integriert man noch in den gegebenen Grenzen für ein bestimmtes Intervall [a,b], um auf die obige Formel zu kommen. Analog ist das ganze für Rotation um die y-Achse möglich. Das Einfachste ist dann, die Umkehrfunktion von y(x) zu bilden und x mit y zu vertauschen sowie die neuen Grenzen einzusetzen.
PavelNed hat geschrieben:Die erste Frage ist direkt zu der Matrix- Frage von Prof. Wensch :P
Bekommt man die geometrische Vielfalt heraus, in dem man ableitet? D.h. wenn die erste Ableitung ungleich 0 ist, dann hat es die Vielfalt 1. Oder war das was anderes? Falls nein, wäre die Matrix wohl diese:
\begin{pmatrix}2 & 0 \\0 & 2 \\ \end{pmatrix}
Die geometrische Vielfachheit bezog sich auf den Eigenwert der Matrix, wobei man zur Ermittlung eigentlich nichts ableiten muss. Kann sein, dass Du das mit Extremwertberechnung verwechselst. Für die angegebene Matrix berechnest Du zunächst die Eigenwerte aus dem charakteristischen Polynom gemäß
\det(\mathbb{A}-\lambda\mathbb{E})=\det\begin{pmatrix}2-\lambda&0\\0&2-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)^2\stackrel{!}{=}0
Das heißt die Matrix hat den Eigenwert \lambda_{1/2}=2 als doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms (algebraische Vielfachheit demnach 2). Zu diesem lässt sich der zugehörige Eigenvektor aus dem Gleichungssystem bestimmen, das man nach Einsetzen des Eigenwertes in die Matrixgleichung erhält. Dieses ist in der Form allerdings zweifach unterbestimmt (alle Einträge sind Null) und man kann zwei freie Parameter wählen. Das bedeutet jedoch, dass es zwei linear unabhängige Eigenvektoren gibt, die zusammen den Eigenraum aufspannen. Da die geometrische Vielfachheit die Dimension des Eigenraumes angibt, wäre diese hier also 2 und nicht wie gefordert 1. Um die genannte Forderung zu erfüllen, könnte man aber einfach eines der Nebendiagonalelemente ungleich Null wählen, z.B.
\mathbb{A}=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}
Dann wäre das entstehende LGS nur einfach unterbestimmt mit einem frei wählbaren Parameter und entsprechend einem Eigenvektor, sodass der Eigenraum die Dimension 1 hätte.

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Re: [MA]-Klausurvorbereitung

Beitrag von PavelNed » 16.07.2013 16:54

Vielen Dank für die schnellen Antworten! Und natürlich auch danke an Hans Oberlander für das editieren mit den Formeln!

Mit den (ziemlich logischen) Erklärungen macht dann die Lösung der Aufgabe für mich auch Sinn. Aufgabenstellung editiere ich oben on meinem ersten Post noch, der übersichtshalber.

Und bei der Matrix weiß ich auch nicht genau was ich da gemeint habe :D .. wenn ich
\det(\mathbb{A}-\lambda\mathbb{E})=\det\begin{pmatrix}2-\lambda&0\\0&2-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)^2\stackrel{!}{=}0
ableite, komme ich ja eigentlich ersteinmal darauf, dass ich hier eine doppelte Nullstelle habe und somit einen doppelten Eigenwert. Mit der Vielfachheit hab ich da irgendwas vertauscht, auch hier nochmals danke!

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Re: [MA]-Klausurvorbereitung

Beitrag von ThatGuy » 22.07.2013 13:16

Im Hinblick auf die Prüfungsvorbereitung hat sich Professor Wensch auf seiner Webseite kürzlich zu Schwerpunktthemen geäußert. Beziehungsweise hat er dort genannt, was nicht Inhalt der Klausur sein soll:
  1. Riemann-Summen und Grenzwert
  2. Existenz uneigentlicher Integrale
  3. Cauchyscher Hauptwert
  4. Definitionsbereich und Stetigkeit von Funktionen f(x,y)
  5. Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen
  6. Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten, ko- & kontravariante Basis
Damit bleibt also trotzdem noch genug Stoff zum Lernen übrig.

[EDIT]: Die Räumlichkeiten für die Konsultationen stehen mittlerweile fest und wurden von Prof. Wensch auf der Webseite bekanntgegeben.

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Re: [MA]-Klausurvorbereitung

Beitrag von PavelNed » 09.08.2013 13:55

Da am Montag erst wieder Konsultation ist, stelle ich meine Frage einfach hier wieder:
Bei den Musterlösungen von Prof. Wensch (Woche 2, Aufgabe 11.2 c) verstehe ich die Substitution nicht so ganz:
t^3 =5x-7 ist mir klar, aber das umformen zu

dx= \frac{3t^2}{5} dx nicht
Normal würde man doch einfach \frac{dt}{dx} = die Ableitung vom t Term
Hier wurde ja jetzt die t^3 nach t und die 5x nach x abgelitten ?!
Die Grundlage verstehe ich nicht so ganz, ich hätte jetzt die 3. Wurzel gezogen, was dann natürlich schwieriger wird..

PS: Bei der Integration bei der 11.1 b und c sind 2 kleine Integrationsfehler

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Re: [MA]-Klausurvorbereitung

Beitrag von ThatGuy » 09.08.2013 14:29

PavelNed hat geschrieben:Normal würde man doch einfach \frac{dt}{dx} = die Ableitung vom t Term [bilden]
Wenn man daraus x=\frac{t^3+7}{5} macht, die Ableitung \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} bildet und anschließend nach dx umformt, klappt es genauso gut.
PS: Bei der Integration bei der 11.1 b und c sind 2 kleine Integrationsfehler
Wo konkret? Kann keinen Fehler dort finden.

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Re: [MA]-Klausurvorbereitung

Beitrag von PavelNed » 09.08.2013 14:51

Stimmt, man kann es ja auch einfach so umformen und dann ableiten.. Danke!

Bei der b:
\int\ \frac{2}{5}x^(3/2) ist meiner Meinung nach ein kleiner Fehler beim integrieren passiert
und bei der c:
\int\ 4x ^(-3/2)
Sind nur kleine Fehler, ich musste vorhin aber ersteinmal überlegen, ob ich was falsch mache..

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Re: [MA]-Klausurvorbereitung

Beitrag von ThatGuy » 09.08.2013 15:16

Achso, in der b) ist ein Zahlendreher. Der Bruch müsste laut Aufgabenstellung 5/2 sein und nicht umgekeht - sonst kürzt sich das nicht weg. Aber in der c) passt's doch:
\int(4x^{-3/2}-x^{-3/2})\mathrm{d}x=\int3x^{-3/2}\mathrm{d}x=-6x^{-1/2}

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