[MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

r3d_5haDow
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[MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von r3d_5haDow » 15.02.2012 22:00

Hallo Leute!
Ich wollte gern mal einen Thread aufmachen in dem alle die Fragen posten können, die ihnen während dem Durchrechnen folgender für die Klausur empfohlenen Übungsaufgaben gekommen sind:
Schwerpunktsaufgaben: http://www.math.tu-dresden.de/%7Ewensch ... punkte.doc



Ich fang gleich mal mit der ersten Frage an:

Aufgabe 22.8 d)
Irgendwann komme ich dahin, dass ich folgendes Integral lösen müsste:

Bild

Wie kann ich ansetzen um das Integral zu lösen? Hat einer von euch eine Idee?

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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von FSW » 16.02.2012 00:05

Versuch mal die Grundfläche anders zu beschreiben:

F=4 \cdot \int\limits_{y=0}^{1} \int\limits_{x=0}^{-y+1} \sqrt{1+4x^2} dx dy

edit: Um die angegebene Hilfestellung anwenden zu können, muss man das Integral auf genau die Form bringen, daher ist es günstig, die Integrationsreihenfolge so zu wählen. Die 4 vor dem x^2 macht nichts, sie kann zur Not wegsubstituiert werden.
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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von paradoXx » 18.02.2012 13:36

Wo gibt es eigentlich die Aufgaben aus "Ü7"?
Einige der Schwerpunktaufgaben waren meines Wissens nach nie auf den Übungsblättern, z.B. die 71, 107, 114 und natürlich die Aufgaben zu den Abbildungen.

Also ich wäre sehr dankbar für einen SLUB-Link, pdf-Link oder Scan.

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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von FSW » 18.02.2012 13:47

Ich habe nicht ganz verstanden was du möchtest:
paradoXx hat geschrieben:Wo gibt es eigentlich die Aufgaben aus "Ü7"?
Du meinst die Lösungen der 7. Woche? Die stehen in deinen Mitschriften aus der Übung.
paradoXx hat geschrieben:Einige der Schwerpunktaufgaben waren meines Wissens nach nie auf den Übungsblättern, z.B. die 71, 107, 114 und natürlich die Aufgaben zu den Abbildungen.
Das dient dazu, auch einmal Aufgaben durch zu rechnen, wo nicht schon eine Lösung in der Übung erarbeitet wurde. Die Kontrolle auf Richtigkeit kann mit den Endergebnisse am Ende der Aufgabenbücher erfolgen. Wenn du nicht weiterkommst gibt es die Möglichkeit hier zu fragen.
paradoXx hat geschrieben:Also ich wäre sehr dankbar für einen SLUB-Link, pdf-Link oder Scan.
Was sollen wir denn einscannen?
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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von paradoXx » 18.02.2012 14:06

Die Übungen zur Funktionentheorie wurden uns als pdf-Datei gegeben, dort standen dann die einzelnen Aufgaben drin, die mit "Ü7: 7.01.xx" bezeichnet waren.

Unter den Schwerpunktaufgaben befinden sich nun Aufgaben (o.g.), die nie auf den Übungsblättern standen und ich frage mich, wo ich die denn herbekomme, denn ich hatte bis jetzt kein Übungsheft o.ä. zur Funktionentheorie.

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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von FSW » 18.02.2012 14:25

Achso meinst du dass. Ich kümmer mich drum.

edit: In diesem Post gibt es die abfotografierten Aufgaben. (Siehe *.rar-Files)
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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von paradoXx » 18.02.2012 14:55

Vielen Dank, genau das habe ich gesucht.

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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Gammalyse » 19.02.2012 10:47

Hab schon Prof. Wensch angeschrieben wegen den fehlenden Aufgaben. Bis jetzt noch keine Antwort. :/

Danke für die Hilfe (Aufgaben & Integral).

Edit: Hab mal alle fehlende Aufgaben in einer pdf-Datei zusammengefasst. Die Qualität lässt zu wünschen übrig aber es sollte seinen Zweck erfüllen.

Edit 2: Aufgaben wurden zur offiziellen Seite hinzugefügt.
Du hast keine ausreichende Berechtigung, um die Dateianhänge dieses Beitrags anzusehen.

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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Gammalyse » 21.02.2012 21:51

Fragen in die Runde:

1.) Aufgabe 7.1.114:


Die Aufgabe wurde mit mehreren Lösungswegen von mehreren Personen durchgeführt (darunter ein Tutor). Als Lösung stelte sich dabei immer I=(π/4)*[(e^a)+(e^-a)] statt den versprochenen I=(π/2)*[e^-a] heraus.

Der sicherste Lösungsweg ist meiner Meinung nach die Funktion als die Hälfte der ganzen Strecke von (-∞,∞) zu behandeln und das Jordansche Lemma anzuwenden.

Haben wir was falsch gemacht ?

2.) Aufgabe 7.1.24b:


Soweit ich das verstanden habe ist eine Abbildung konform, wenn sich die abgebildete Kurven im gleichen Winkel schneiden wie die Ausgangskurven.

Ist eine Abbildung an einer Stelle konform, wenn Sie an der gleichen Stelle holomorph ist ?

3.) Aufgabe 7.1.83d


Hier fehlt mir ein Ansatz wie ich aus der e^(1/z) eine Taylorreihe entwickeln soll.

Als Reihe ausgeschrieben besitzt die Funktion zwar eine verführerische Ähnlichkeit mit einer Taylorreihe, jedoch denke ich nicht das ich die Reihe zu einer Taylorreihe umgeformt bekommen könnte.

Als zweiter Versuch diente die Taylorreihe im Merziger S.83 als Herleitungsansatz. Problem: Ich bin anscheinend nicht in der Lage die Wiederholbarkeit der Ableitbarkeit der Funktion als Ableitung (k) darzustellen.

Bin für jede Hilfe dankbar !

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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von FSW » 22.02.2012 17:13

Gammalyse hat geschrieben: Ist eine Abbildung an einer Stelle konform, wenn Sie an der gleichen Stelle holomorph ist ?
Eine Abbildung ist konform, wenn sie holomorph ist und ihre Ableitung auf dem gesamten betrachteten Gebiet nicht Null wird.
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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von FSW » 22.02.2012 17:21

Gammalyse hat geschrieben: Hier fehlt mir ein Ansatz wie ich aus der e^(1/z) eine Taylorreihe entwickeln soll.
e^{\frac{1}{z}} ist gerade für z=0 nicht definiert, von daher kann man keine Taylorreihe um 0 entwickeln. Was geht ist eine Laurentreihe. Dafür entwickelt man e^w um w=0 normal mit Taylor. In der Reihe, die man damit erhält, setzt man schließlich w=\frac{1}{z} und erhält damit die Laurentreihe (hier sind z im Nenner erlaubt \Rightarrow Hauptteil)
Zuletzt geändert von FSW am 22.02.2012 20:25, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von FSW » 22.02.2012 17:52

Gammalyse hat geschrieben:Fragen in die Runde:

1.) Aufgabe


Die Aufgabe wurde mit mehreren Lösungswegen von mehreren Personen durchgeführt (darunter ein Tutor). Als Lösung stelte sich dabei immer I=(π/4)*[(e^a)+(e^-a)] statt den versprochenen I=(π/2)*[e^-a] heraus.

Der sicherste Lösungsweg ist meiner Meinung nach die Funktion als die Hälfte der ganzen Strecke von (-∞,∞) zu behandeln und das Jordansche Lemma anzuwenden.

Haben wir was falsch gemacht ?

Im Reellen kann man bei geraden Funktionen und zur y-Achse symmetrischen Integrationsintervallen annehmen, dass man nur links der y-Achse integriert und dafür das erhaltene Integral verdoppelt. Das funktioniert im Komplexen jedoch nicht so einfach! Zur Anwendung des Jordanschen Lemmas müssen wir jedoch komplex rechnen.
FSW hat geschrieben:Das funktioniert im Komplexen jedoch nicht so einfach!
Das sei hier mal begründet: Schauen wir uns

\int\limits_{- \infty}^{\infty} f(x) e^{i \cdot tx} dx

mit f(x) beliebige reelle und gerade Funktion an. Das kann man umformen:

\int\limits_{- \infty}^{\infty} f(x) e^{i \cdot tx} dx = \int\limits_{- \infty}^{\infty} f(x) \left( cos(tx) + i \cdot sin(tx) \right) dx

= \int\limits_{- \infty}^{\infty} f(x) cos(tx)  dx + i \cdot \int\limits_{- \infty}^{\infty} f(x)   \cdot sin(tx)  dx

Das rechte Integral ist rein reell. Im Integraden steht das Produkt einer geraden mit einer ungeraden Funktion, das Ergebnis ist also ungerade. Folglich ist das rechte Integral Null (wegen des symmetrischen Integrationsbereiches). Wir erhalten also:

\int\limits_{- \infty}^{\infty} f(x) e^{i \cdot tx} dx = \int\limits_{- \infty}^{\infty} f(x) cos(tx)  dx = 2 \cdot \int\limits_{0}^{\infty} f(x) cos(tx)  dx

(da ja auch das linke Integral rein reel ist, kann man hier die oben beschriebene Umformung machen).
Was heißt das jetzt für die Aufgabe? Man kann also

\int\limits_{0}^{\infty} f(x) cos(tx)  dx = \frac{1}{2} \int\limits_{- \infty}^{\infty} f(x) e^{i \cdot tx} dx

schreiben und diese mit der Residuumformel + Jordanschen Lemma auswerten.
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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Gammalyse » 22.02.2012 19:48

Großartig. Herzlichen Dank ! :)

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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von mania » 22.02.2012 19:54

Weist du, ob die Lösung I=\frac{\pi}{4}(e^a+e^{-a}) richtig ist?

Und noch was zur Taylor-Reihe: Wenn ich e^{\frac{1}{z}} mit einer Taylor-Reihe in eine Laurant-Reihe entwickeln will, und ich will einen anderen Entwicklungspunkt als z_0=0,
sagen wir mal, z_0=5, und ich entwickeln e^z um z_0=5 in eine Reihe, dann funktioniert das doch nicht mehr, dass ich für w=\frac{1}{z} einsetze, denn das würde ergeben:

e^w=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e^5}{n!}(w-5)^n \\ w=\frac{1}{z} \\ e^{\frac{1}{z}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e^5}{n!}(\frac{1}{z}-5)^n

Das aut doch nicht ganz so hin, wie es eigentlich soll?

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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Gammalyse » 22.02.2012 20:02

Zumindest zur 1. Frage:
Ich hab auch mal Prof. Wensch nach der Aufgabe 7.1.114 gefragt und es stellte sich heraus, dass auch er und Mathematica auf die Musterlösung:

I=\frac{\pi}{2}(e^{-a})

kommen. Ich werd auch mal drüberrechnen.

Edit: Franks Ansatz hat geklappt. Bin auf die Musterlösung gekommen.
Zuletzt geändert von Gammalyse am 22.02.2012 20:52, insgesamt 1-mal geändert.

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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von FSW » 22.02.2012 20:13

Gammalyse hat geschrieben:er und Mathematica
Das was ich da oben hergeleitet hab ist ein Satz in der Mathematik der u.a. für die Fouriertransformation ausgenutzt wird, wenn das zu Transformierende Signal symmetrisch ist. Das erklärt das "er". Und Mathematica kommt auch drauf, siehe hier. Allerdings rechnet das CAS-System wieder anders, und zwar damit.
mania hat geschrieben:Weist du, ob die Lösung I=\frac{\pi}{4}(e^a+e^{-a}) richtig ist?
Die Ergebnisse kann man nicht ineinander überführen, folglich muss eines falsch sein. Ich kann aber leider auch nicht genau sagen, was an der Rechnung oben falsch ist.
mania hat geschrieben:Das aut doch nicht ganz so hin, wie es eigentlich soll?
Das seh ich auch so, da für z0=5 ja die Taylorreihe (=Nebenteil der Laurantreihe) existiert.
Zuletzt geändert von FSW am 22.02.2012 20:25, insgesamt 2-mal geändert.
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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Gammalyse » 22.02.2012 20:17

Falsch verstanden.

Ich hab mich auf die 1. Frage von mania bezogen.

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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von FSW » 22.02.2012 20:27

sry wenn ich manchmal gemeinerweise meine Beiträge einfach ändere, aber ich mach das hier mehr oder weniger nebenbei und da passieren ab und an fehler
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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Gammalyse » 22.02.2012 20:32

Alles klar. Kein Problem. :)

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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Horsti » 23.02.2012 12:28

Bezüglich der pdfs:
Wo findet man denn die Aufgabe 7.1.19, die ja in der Testarbeit vorkommt?

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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von FSW » 23.02.2012 15:14

hier und da:
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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von ThatGuy » 23.02.2012 15:17

Die besagten Aufgaben zur Funktionentheorie stammen aus dem Heft

Übungsaufgaben zur Mathematik - 7
Funktionentheorie, partielle Differentialgleichungen, Variationsrechnung

von Horst Wenzel, Winfried Schirotzek und Gottfried Heinrich
herausgegeben von der Sektion Mathematik der TU Dresden (1977)
Horsti hat geschrieben:Wo findet man denn die Aufgabe 7.1.19, die ja in der Testarbeit vorkommt?
Wenn ich das richtig gesehen habe, dann dürften neben der 19 auch die 76 und die 108 fehlen. Habe diesbezüglich Prof. Wensch noch mal Bescheid gegeben.

@Frank (FSW): Danke!
Zuletzt geändert von ThatGuy am 27.02.2012 12:11, insgesamt 1-mal geändert.

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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Horsti » 23.02.2012 16:27

Vielen Dank.

Hab mir jetzt mal diese Probeklausurhttp://www.math.tu-dresden.de/~noack/EU ... kl2010.pdf von Dr. Noack angeguckt
und hab nun folgendes Problem.
Bei der 3. Aufgabe weiß ich ehrlich gesagt gar nicht wie ich anfangen soll,
um das g(y) zu bestimmen. Sonst ist ja immer ein u(x,y) oder v(x,y) gegeben,
wodurch man dann mit Cauchy-Riemann auf des jeweils fehlende schließen kann.

Wie sollte man denn dabei ansetzen?


Seitz
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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Seitz » 23.02.2012 23:18

Hat jemand nen Vorschlag wie man cos(1/z)/(1-z) auf holomorphie prüft?

Das ist aus der Probeklausur und soweit ich weis muss man bevor man den Residuensatz (als folge vom Cauchy) anwendet die Funktion auf Holomorphie untersuchen.


EDIT: Vorschlag: Cos und 1-z sind holomorphe Funktionen. Deren Quotient ist wieder holomorph?!
Und danke an Frank für den Ansatz, bin jetzt nach stunden auch endlich drauf gekommen. :roll:
Zuletzt geändert von Seitz am 24.02.2012 01:17, insgesamt 1-mal geändert.

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