[MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

[r3d_5haDow]

Hallo Leute!
Ich wollte gern mal einen Thread aufmachen in dem alle die Fragen posten können, die ihnen während dem Durchrechnen folgender für die Klausur empfohlenen Übungsaufgaben gekommen sind:
Schwerpunktsaufgaben: http://www.math.tu-dresden.de/%7Ewensch ... punkte.doc



Ich fang gleich mal mit der ersten Frage an:

Aufgabe 22.8 d)
Irgendwann komme ich dahin, dass ich folgendes Integral lösen müsste:



Wie kann ich ansetzen um das Integral zu lösen? Hat einer von euch eine Idee?

[FSW]

Versuch mal die Grundfläche anders zu beschreiben:



edit: Um die angegebene Hilfestellung anwenden zu können, muss man das Integral auf genau die Form bringen, daher ist es günstig, die Integrationsreihenfolge so zu wählen. Die 4 vor dem macht nichts, sie kann zur Not wegsubstituiert werden.

[paradoXx]

Wo gibt es eigentlich die Aufgaben aus "Ü7"?
Einige der Schwerpunktaufgaben waren meines Wissens nach nie auf den Übungsblättern, z.B. die 71, 107, 114 und natürlich die Aufgaben zu den Abbildungen.

Also ich wäre sehr dankbar für einen SLUB-Link, pdf-Link oder Scan.

[FSW]

Ich habe nicht ganz verstanden was du möchtest:

Wo gibt es eigentlich die Aufgaben aus "Ü7"?

Du meinst die Lösungen der 7. Woche? Die stehen in deinen Mitschriften aus der Übung.

Einige der Schwerpunktaufgaben waren meines Wissens nach nie auf den Übungsblättern, z.B. die 71, 107, 114 und natürlich die Aufgaben zu den Abbildungen.

Das dient dazu, auch einmal Aufgaben durch zu rechnen, wo nicht schon eine Lösung in der Übung erarbeitet wurde. Die Kontrolle auf Richtigkeit kann mit den Endergebnisse am Ende der Aufgabenbücher erfolgen. Wenn du nicht weiterkommst gibt es die Möglichkeit hier zu fragen.

Also ich wäre sehr dankbar für einen SLUB-Link, pdf-Link oder Scan.

Was sollen wir denn einscannen?

[paradoXx]

Die Übungen zur Funktionentheorie wurden uns als pdf-Datei gegeben, dort standen dann die einzelnen Aufgaben drin, die mit "Ü7: 7.01.xx" bezeichnet waren.

Unter den Schwerpunktaufgaben befinden sich nun Aufgaben (o.g.), die nie auf den Übungsblättern standen und ich frage mich, wo ich die denn herbekomme, denn ich hatte bis jetzt kein Übungsheft o.ä. zur Funktionentheorie.

[FSW]

Achso meinst du dass. Ich kümmer mich drum.

edit: In diesem Post gibt es die abfotografierten Aufgaben. (Siehe *.rar-Files)

[paradoXx]

Vielen Dank, genau das habe ich gesucht.

[Gammalyse]

Hab schon Prof. Wensch angeschrieben wegen den fehlenden Aufgaben. Bis jetzt noch keine Antwort. :/

Danke für die Hilfe (Aufgaben & Integral).

Edit: Hab mal alle fehlende Aufgaben in einer pdf-Datei zusammengefasst. Die Qualität lässt zu wünschen übrig aber es sollte seinen Zweck erfüllen.

Edit 2: Aufgaben wurden zur offiziellen Seite hinzugefügt.

[Gammalyse]

Fragen in die Runde:

1.) Aufgabe 7.1.114:

Die Aufgabe wurde mit mehreren Lösungswegen von mehreren Personen durchgeführt (darunter ein Tutor). Als Lösung stelte sich dabei immer I=(π/4)*[(e^a)+(e^-a)] statt den versprochenen I=(π/2)*[e^-a] heraus.

Der sicherste Lösungsweg ist meiner Meinung nach die Funktion als die Hälfte der ganzen Strecke von (-∞,∞) zu behandeln und das Jordansche Lemma anzuwenden.

Haben wir was falsch gemacht ?

2.) Aufgabe 7.1.24b:

Soweit ich das verstanden habe ist eine Abbildung konform, wenn sich die abgebildete Kurven im gleichen Winkel schneiden wie die Ausgangskurven.

Ist eine Abbildung an einer Stelle konform, wenn Sie an der gleichen Stelle holomorph ist ?

3.) Aufgabe 7.1.83d

Hier fehlt mir ein Ansatz wie ich aus der e^(1/z) eine Taylorreihe entwickeln soll.

Als Reihe ausgeschrieben besitzt die Funktion zwar eine verführerische Ähnlichkeit mit einer Taylorreihe, jedoch denke ich nicht das ich die Reihe zu einer Taylorreihe umgeformt bekommen könnte.

Als zweiter Versuch diente die Taylorreihe im Merziger S.83 als Herleitungsansatz. Problem: Ich bin anscheinend nicht in der Lage die Wiederholbarkeit der Ableitbarkeit der Funktion als Ableitung (k) darzustellen.

Bin für jede Hilfe dankbar !

[FSW]

Ist eine Abbildung an einer Stelle konform, wenn Sie an der gleichen Stelle holomorph ist ?

Eine Abbildung ist konform, wenn sie holomorph ist und ihre Ableitung auf dem gesamten betrachteten Gebiet nicht Null wird.

[FSW]

Hier fehlt mir ein Ansatz wie ich aus der e^(1/z) eine Taylorreihe entwickeln soll.

ist gerade für z=0 nicht definiert, von daher kann man keine Taylorreihe um 0 entwickeln. Was geht ist eine Laurentreihe. Dafür entwickelt man um w=0 normal mit Taylor. In der Reihe, die man damit erhält, setzt man schließlich und erhält damit die Laurentreihe (hier sind z im Nenner erlaubt Hauptteil)

[FSW]

Fragen in die Runde:

1.) Aufgabe

Die Aufgabe wurde mit mehreren Lösungswegen von mehreren Personen durchgeführt (darunter ein Tutor). Als Lösung stelte sich dabei immer I=(π/4)*[(e^a)+(e^-a)] statt den versprochenen I=(π/2)*[e^-a] heraus.

Der sicherste Lösungsweg ist meiner Meinung nach die Funktion als die Hälfte der ganzen Strecke von (-∞,∞) zu behandeln und das Jordansche Lemma anzuwenden.

Haben wir was falsch gemacht ?

Im Reellen kann man bei geraden Funktionen und zur y-Achse symmetrischen Integrationsintervallen annehmen, dass man nur links der y-Achse integriert und dafür das erhaltene Integral verdoppelt. Das funktioniert im Komplexen jedoch nicht so einfach! Zur Anwendung des Jordanschen Lemmas müssen wir jedoch komplex rechnen.

Das funktioniert im Komplexen jedoch nicht so einfach!

Das sei hier mal begründet: Schauen wir uns



mit f(x) beliebige reelle und gerade Funktion an. Das kann man umformen:





Das rechte Integral ist rein reell. Im Integraden steht das Produkt einer geraden mit einer ungeraden Funktion, das Ergebnis ist also ungerade. Folglich ist das rechte Integral Null (wegen des symmetrischen Integrationsbereiches). Wir erhalten also:



(da ja auch das linke Integral rein reel ist, kann man hier die oben beschriebene Umformung machen).
Was heißt das jetzt für die Aufgabe? Man kann also



schreiben und diese mit der Residuumformel + Jordanschen Lemma auswerten.

[Gammalyse]

Großartig. Herzlichen Dank !

[mania]

Weist du, ob die Lösung richtig ist?

Und noch was zur Taylor-Reihe: Wenn ich mit einer Taylor-Reihe in eine Laurant-Reihe entwickeln will, und ich will einen anderen Entwicklungspunkt als ,
sagen wir mal, , und ich entwickeln um in eine Reihe, dann funktioniert das doch nicht mehr, dass ich für einsetze, denn das würde ergeben:



Das aut doch nicht ganz so hin, wie es eigentlich soll?

[Gammalyse]

Zumindest zur 1. Frage:
Ich hab auch mal Prof. Wensch nach der Aufgabe 7.1.114 gefragt und es stellte sich heraus, dass auch er und Mathematica auf die Musterlösung:



kommen. Ich werd auch mal drüberrechnen.

Edit: Franks Ansatz hat geklappt. Bin auf die Musterlösung gekommen.

[FSW]

er und Mathematica

Das was ich da oben hergeleitet hab ist ein Satz in der Mathematik der u.a. für die Fouriertransformation ausgenutzt wird, wenn das zu Transformierende Signal symmetrisch ist. Das erklärt das "er". Und Mathematica kommt auch drauf, siehe hier. Allerdings rechnet das CAS-System wieder anders, und zwar damit.

Weist du, ob die Lösung richtig ist?

Die Ergebnisse kann man nicht ineinander überführen, folglich muss eines falsch sein. Ich kann aber leider auch nicht genau sagen, was an der Rechnung oben falsch ist.

Das aut doch nicht ganz so hin, wie es eigentlich soll?

Das seh ich auch so, da für z0=5 ja die Taylorreihe (=Nebenteil der Laurantreihe) existiert.

[Gammalyse]

Falsch verstanden.

Ich hab mich auf die 1. Frage von mania bezogen.

[FSW]

sry wenn ich manchmal gemeinerweise meine Beiträge einfach ändere, aber ich mach das hier mehr oder weniger nebenbei und da passieren ab und an fehler

[Gammalyse]

Alles klar. Kein Problem. :)

[Horsti]

Bezüglich der pdfs:
Wo findet man denn die Aufgabe 7.1.19, die ja in der Testarbeit vorkommt?

[FSW]

hier und da:

[ThatGuy]

Die besagten Aufgaben zur Funktionentheorie stammen aus dem Heft

Übungsaufgaben zur Mathematik - 7
Funktionentheorie, partielle Differentialgleichungen, Variationsrechnung
von Horst Wenzel, Winfried Schirotzek und Gottfried Heinrich
herausgegeben von der Sektion Mathematik der TU Dresden (1977)

Wo findet man denn die Aufgabe 7.1.19, die ja in der Testarbeit vorkommt?

Wenn ich das richtig gesehen habe, dann dürften neben der 19 auch die 76 und die 108 fehlen. Habe diesbezüglich Prof. Wensch noch mal Bescheid gegeben.

@Frank (FSW): Danke!

[Horsti]

Vielen Dank.

Hab mir jetzt mal diese Probeklausurhttp://www.math.tu-dresden.de/~noack/EU ... kl2010.pdf von Dr. Noack angeguckt
und hab nun folgendes Problem.
Bei der 3. Aufgabe weiß ich ehrlich gesagt gar nicht wie ich anfangen soll,
um das g(y) zu bestimmen. Sonst ist ja immer ein u(x,y) oder v(x,y) gegeben,
wodurch man dann mit Cauchy-Riemann auf des jeweils fehlende schließen kann.

Wie sollte man denn dabei ansetzen?

[mania]

Hier die lösung: lösung Aufgabe 3 Probeklausur Noack
und hier der Thread: [6. update] Termine Konsultation Mathe 3 - Funktionentheorie

[Seitz]

Hat jemand nen Vorschlag wie man auf holomorphie prüft?

Das ist aus der Probeklausur und soweit ich weis muss man bevor man den Residuensatz (als folge vom Cauchy) anwendet die Funktion auf Holomorphie untersuchen.


EDIT: Vorschlag: Cos und 1-z sind holomorphe Funktionen. Deren Quotient ist wieder holomorph?!
Und danke an Frank für den Ansatz, bin jetzt nach stunden auch endlich drauf gekommen.