[MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Gammalyse
Beiträge: 25
Registriert: 14.10.2010 18:50
Name: Florian
Geschlecht: männlich
Studienrichtung: Informationssystemtechnik
Matrikel: 2010
Angestrebter Abschluss: Dipl-Ing.

Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Gammalyse » 26.02.2012 13:39

Hey Gena,
Gena hat geschrieben:was mache ich, wenn ich das integral über eine geschlossene kurve, genau durch die polstelle verläuft?
Wenn die Funktion f(z) nicht holomorph ist, so ist das Integral unberechenbar.
Wenn der Holomorphiefall eintreten sollte ignoriere die Singularität und nutze die normale Formel:

\int\limits_{t_1}^{t_2} f(z(t)) \cdot  z'(t)\cdot dt

Edit:
HALT ! Hab mich vertan. Das war für nicht geschlossente Kurvenintegrale.
Für geschlossene gilt fast dasselbe:
  • Nicht holomorph -> nicht lösbar
  • Holomorph -> I=0

kalamazoo hat geschrieben:ich habe nochmal eine frage zu der Aufgabe 7.1.76... undzwar zu der abgewandelten Form wie sie in den Schwerpunktaufgaben beschrieben steht! Wenn ich mir die Lösung anschaue frage ich mich was mit meinem 1/z passiert ist?! ist das nicht mein HT? und wenn ja warum taucht er in der Lösung nicht mehr auf und warum wird bei der Lösung n=-2 und n=-1 ausgerechnet, anstatt die Summe von -2 bis oo laufen zulassen?!
Tach Kalamazoo,

Der Knackpunkt ist ersteinmal: unsere Entwicklungsstelle liegt nicht mehr bei z0=0 sondern bei z0=1. Aus diesen Grund müssen wir Laurentreihen entwickeln die statt z^n den Faktor (z-1)^n besitzen (also immer z-z0 ist die Devise).

Darum sind alle Summenglieder (nach Partialbruchzerlegung) die bereits von z-1 abhängig sind bereits Glieder einer Laurentreihe und müssen demnach nicht mehr in eine umgewandelt werden. Durch die fehlende Umwandlung gelten sie in allen Ringgebieten.

Somit haben wir uns eine Menge Arbeit erspart. Da bleibt nurnoch 1/z übrig. Da es keinen Faktor von (z-z0) also (z-1) besitzt müssen wir den Summand in eine Laurentreihe umwandeln.

Dazu substituieren wir uns als Hilfestellung p=z-1. Danach formen wir den Term ganz normal mit p statt unseren z in eine Laurentreihe um (2 verschiedene Umwandlungsmöglichkeiten für 2 verschiedene Ringgebiete) und substituieren anschließend wieder zurück. Voilá: Laurentreihen in Abhängigkeit von (z-z0).

Nun müssen wir unsere vorherigen Glieder mit der neu erstellten Laurentreihe für jedes Ringgebiet aufsummieren sodass wir auf 2 verschiedene f(z) kommen, welche in jeweils anderen Ringgebiet vorherrschen.

In der Lösung wurden die 2 Glieder noch in die Summe eingearbeitet, was jedoch nur pure Kosmetik ist.

Ich werde mal meine Lösung einscannen zur Übersichtlichkeit.

Edit: Done. Hab noch meinen Spicker zum Thema Jordansches Lemma eingescannt.
Du hast keine ausreichende Berechtigung, um die Dateianhänge dieses Beitrags anzusehen.
Zuletzt geändert von Gammalyse am 26.02.2012 14:14, insgesamt 2-mal geändert.

Gammalyse
Beiträge: 25
Registriert: 14.10.2010 18:50
Name: Florian
Geschlecht: männlich
Studienrichtung: Informationssystemtechnik
Matrikel: 2010
Angestrebter Abschluss: Dipl-Ing.

Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Gammalyse » 26.02.2012 13:55

googlehupf hat geschrieben:Ich habe gerade die original Aufgabenstellung nicht bei mir, aber steht nicht in der Aufgabe z=< 2+2x, also z<2+2x und z=2+2x sodass ich von einer geschlossenen Oberfläche ausgehen muss?
Es bleibt leider trotzdem ein Gebiet welches das mögliche z (also das obere Ende des Paraboloids) einschränken soll. Weil es keine Fläche (bzw. in unseren Fall eine Ebene) ist, die den Deckel auf unseren Körper haut, wird kein Volumen abgeschlossen.

Max Power
Beiträge: 86
Registriert: 29.09.2010 19:50

Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Max Power » 26.02.2012 14:15

FSW hat geschrieben:
Tim65 hat geschrieben:Hat jemand die 23.5 f inbekommen?
stimmt soweit, nur Vorsicht beim ersetzen von dem z in der Divergenz! Folgendes Integral führt zum Ziel:

\int\limits_{ \varphi = 0}^{2 \pi} \int\limits_{z=0}^4 \int\limits_{r=0}^{\sqrt{z}} (z+r \cdot \sin \varphi +2 ) \cdot r \cdot dr dz d \varphi = \frac{112}{3} \pi

Seitz hat geschrieben:Weis einer wie er auf die Wurzel 5 als Ringgrenze kommt bei der lösung?
Welche Aufgabe meinst du?
wie kommst man auf das +2 ich komme immer auf z+r *sinq

Gammalyse
Beiträge: 25
Registriert: 14.10.2010 18:50
Name: Florian
Geschlecht: männlich
Studienrichtung: Informationssystemtechnik
Matrikel: 2010
Angestrebter Abschluss: Dipl-Ing.

Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Gammalyse » 26.02.2012 14:24

Max Power hat geschrieben:wie kommst man auf das +2 ich komme immer auf z+r *sinq
Das Gemeine an der Aufgabe ist die Lage des Körpers. Da er verschoben ist fällt nicht mehr diesselben Vektorwerte von F drüber ab, weil wir unseren Körper auf der z-Achse entwickelt haben.

Wir müssen einfach das Vektorfeld F mitverschieben.

Unser Körper befindet sich bei x=1 und y=2 und wir verschieben ihn auf x=0 und y=0. Demnach wird unser Feld in die selbe Richtung verschoben:

F = \begin{pmatrix}(x+1)z \\ z \\ (y+2)z\end{pmatrix}

Seitz
Beiträge: 75
Registriert: 15.11.2010 21:54

Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Seitz » 26.02.2012 14:25

Gammalyse hat geschrieben:Hey Gena,

Wenn die Funktion f(z) nicht holomorph ist, so ist das Integral unberechenbar.
Wenn der Holomorphiefall eintreten sollte ignoriere die Singularität und nutze die normale Formel:

\int\limits_{t_1}^{t_2} f(z(t)) \cdot  z'(t)\cdot dt
Sollte für den nichtgeschlossenen Fall Holomorphie auftreten wähle dir einfach einen anderen Weg der nicht durch z0 geht. (Parametrisierung)

Astarte
Beiträge: 29
Registriert: 23.12.2009 15:31

Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Astarte » 26.02.2012 16:45

Bei 7.01.107, sowie 7.01.108

Wie komme ich da auf die Lösung?
Irgendwie verstehe ich das mit der Fakultät nicht. Bei der 7.01.107 ist das eine binomische Reihe, deswegen würde ich da die Formel aus dem Merziger Seite 73 anwenden.
Könnte bitte jemand was reinstellen, wo das Vorgehen Schritt für Schritt da ist?

Danke im Vorraus

lf.
Beiträge: 6
Registriert: 07.12.2010 14:53

Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von lf. » 26.02.2012 17:27

Gammalyse, wie kommst du in deinem Lemma.pdf auf Seite 2, Punkt I auf deinen Ansatz?
danke.

Benutzeravatar
mania
Beiträge: 21
Registriert: 21.10.2008 21:53

Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von mania » 26.02.2012 18:25

Sollte für den nichtgeschlossenen Fall Holomorphie auftreten wähle dir einfach einen anderen Weg der nicht durch z0 geht. (Parametrisierung)
Vorsicht:
Wählt man einen anderen Weg, dann spannen der vorgegebene Weg und der neue frei gewählte weg eine fläche auf. Diese Fläche muss holomorph sein, es darf also keine SINgularität in der fläche und auf den wegen liegen. Wenn doch, erhält man mit dem zweiten selbstgewählten weg ein anderes integral!

kalamazoo
Beiträge: 4
Registriert: 23.02.2010 09:49

Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von kalamazoo » 26.02.2012 18:28

Hey super! und Danke für die Übersicht!

So, wenn mir jetzt noch jemand erklären kann wie man das verfahren auf die 7.01.108 anwendet kann ja morgen nix mehr schief gehen.... :?

Aber vielen dank nochmal für die schnelle Hilfe!!

MfG Oli

kalamazoo
Beiträge: 4
Registriert: 23.02.2010 09:49

Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von kalamazoo » 26.02.2012 20:26

Hab die 108 hinbekommen... trotzdem danke!!

MfG Oli
PS: allen morgen Viel Glück und Erfolg!

Gammalyse
Beiträge: 25
Registriert: 14.10.2010 18:50
Name: Florian
Geschlecht: männlich
Studienrichtung: Informationssystemtechnik
Matrikel: 2010
Angestrebter Abschluss: Dipl-Ing.

Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Gammalyse » 26.02.2012 20:32

Astarte hat geschrieben:Bei 7.01.107, sowie 7.01.108

Wie komme ich da auf die Lösung?
Bei beiden Fällen kommt das Jordansche Lemma zum Einsatz. Also das reelle Integral wird in ein komplexes Umlaufintegral umgewandelt sodass man bequem mit den Residuensatz für alle Singularitäten in den 1. beiden Quadranten das Integral lösen kann.

Bei Aufgabe 108 das Radizieren aus Mathe I nicht vergessen. Und nebenbei prüfen welche Singularitäten sich im Umlaufintegral befinden.
lf. hat geschrieben:Gammalyse, wie kommst du in deinem Lemma.pdf auf Seite 2, Punkt I auf deinen Ansatz?
danke.
Nur mit Hilfe von Anderen. Für Herleitung siehe Anhang.
kalamazoo hat geschrieben:PS: allen morgen Viel Glück und Erfolg!
Gleichfalls ! :]
Du hast keine ausreichende Berechtigung, um die Dateianhänge dieses Beitrags anzusehen.

kalamazoo
Beiträge: 4
Registriert: 23.02.2010 09:49

Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von kalamazoo » 26.02.2012 22:30

Gammalyse hat geschrieben:Hey Gena,
Gena hat geschrieben:was mache ich, wenn ich das integral über eine geschlossene kurve, genau durch die polstelle verläuft?
Wenn die Funktion f(z) nicht holomorph ist, so ist das Integral unberechenbar.
Wenn der Holomorphiefall eintreten sollte ignoriere die Singularität und nutze die normale Formel:

\int\limits_{t_1}^{t_2} f(z(t)) \cdot  z'(t)\cdot dt

Edit:
HALT ! Hab mich vertan. Das war für nicht geschlossente Kurvenintegrale.
Für geschlossene gilt fast dasselbe:
  • Nicht holomorph -> nicht lösbar
  • Holomorph -> I=0

kalamazoo hat geschrieben:ich habe nochmal eine frage zu der Aufgabe 7.1.76... undzwar zu der abgewandelten Form wie sie in den Schwerpunktaufgaben beschrieben steht! Wenn ich mir die Lösung anschaue frage ich mich was mit meinem 1/z passiert ist?! ist das nicht mein HT? und wenn ja warum taucht er in der Lösung nicht mehr auf und warum wird bei der Lösung n=-2 und n=-1 ausgerechnet, anstatt die Summe von -2 bis oo laufen zulassen?!
Tach Kalamazoo,

Der Knackpunkt ist ersteinmal: unsere Entwicklungsstelle liegt nicht mehr bei z0=0 sondern bei z0=1. Aus diesen Grund müssen wir Laurentreihen entwickeln die statt z^n den Faktor (z-1)^n besitzen (also immer z-z0 ist die Devise).

Darum sind alle Summenglieder (nach Partialbruchzerlegung) die bereits von z-1 abhängig sind bereits Glieder einer Laurentreihe und müssen demnach nicht mehr in eine umgewandelt werden. Durch die fehlende Umwandlung gelten sie in allen Ringgebieten.

Somit haben wir uns eine Menge Arbeit erspart. Da bleibt nurnoch 1/z übrig. Da es keinen Faktor von (z-z0) also (z-1) besitzt müssen wir den Summand in eine Laurentreihe umwandeln.

Dazu substituieren wir uns als Hilfestellung p=z-1. Danach formen wir den Term ganz normal mit p statt unseren z in eine Laurentreihe um (2 verschiedene Umwandlungsmöglichkeiten für 2 verschiedene Ringgebiete) und substituieren anschließend wieder zurück. Voilá: Laurentreihen in Abhängigkeit von (z-z0).

Nun müssen wir unsere vorherigen Glieder mit der neu erstellten Laurentreihe für jedes Ringgebiet aufsummieren sodass wir auf 2 verschiedene f(z) kommen, welche in jeweils anderen Ringgebiet vorherrschen.

In der Lösung wurden die 2 Glieder noch in die Summe eingearbeitet, was jedoch nur pure Kosmetik ist.

Ich werde mal meine Lösung einscannen zur Übersichtlichkeit.

Edit: Done. Hab noch meinen Spicker zum Thema Jordansches Lemma eingescannt.
Hab gerade noch einen Fehler bei deiner .76 aufgabe entdeckt... die zweite Summe geht von k=-3 bis oo und die Summe selbst lautet [(-1)^(-k)]*(z-1)^k

Aber trotzdem Danke, hat gut zum Verständnis geholfen!

MfG Oli

Gammalyse
Beiträge: 25
Registriert: 14.10.2010 18:50
Name: Florian
Geschlecht: männlich
Studienrichtung: Informationssystemtechnik
Matrikel: 2010
Angestrebter Abschluss: Dipl-Ing.

Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Gammalyse » 26.02.2012 22:56

kalamazoo hat geschrieben:Hab gerade noch einen Fehler bei deiner .76 aufgabe entdeckt... die zweite Summe geht von k=-3 bis oo und die Summe selbst lautet [(-1)^(-k)]*(z-1)^k
Aaach ja ich hab nicht rücksubstituiert. In meinen Schlussintegral müsste z-Schlange stehen statt einfach nur z.

Die obere Grenze von Herrn Wensch lautet -3 weil er die beiden vorderen Terme mit in die Summe eingeschleußt hat, wobei ich sie draußen im Kalten stehen gelassen habe.

Danke für die Berichtigung.

Antworten

Zurück zu „3. Semester: Diskussionen“