[MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

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mania
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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von mania » 24.02.2012 00:38

Genauso ist es.

Allerdings habe ich beim Rechnen raus, dass:
Res(f,1)=-cos(1)
mit beiden Formeln aus dem Tafelwerk.

Stimmt aber nicht mit der Lösung von Frau Noack überein!

UNd mich würde mal interessieren, wie ich das Residuum für f(z) bei z=0 ausrechne, selbst wenn ich cos(\frac{1}{z}) in eine Reihe entwickel, kann ich den Faktor \frac{1}{1-z} nicht einfach ignorieren, sondern muss ihn mitschleppen und dann komme ich nicht mehr auf eine Reihe, die einen Typischen Aufbau hat, von dem ich c_{-1} ablesen kann.

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ThatGuy
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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von ThatGuy » 24.02.2012 08:39

Die fehlenden Testaufgaben stehen mittlerweile auch auf der Webseite von Prof. Wensch. Damit dürfte jetzt eigentlich nix mehr offen sein.

Tim65
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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Tim65 » 24.02.2012 10:11

Ich habe es geschafft die Aufgabe 6b aus der Probeklausur zu lösen. Im Prinzip musste man auch 1/(1-z) in eine Reihe entwickeln u. mit der anderen Reihe multiplizieren. Dann kann man sich den Faktor für a^(-1) für die Berechnung des Residuums zusammen basteln. Mein Lösungsweg ist sehr kompliziert u. umständlich. Ich glaube, dass es auch einen Lösungsweg ohne das Entwickeln von cos(1/z) in eine Reihe geben muss. Falls jemand einen optimalen Weg gefunden hat, bitte posten!

Hier mal mein Lösungsweg:
probeklausuraufgabe6b.pdf
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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von FSW » 24.02.2012 13:45

Das das hier eine wesentliche Singularität ist (siehe auch Plot), gibt es nur den Weg. Es gibt hier eine ganz ähnliche Probeklausur mit angehängten Lösungen.
Das Gute an den schlechten Dingen ist, das auch sie ein Ende haben.

Seitz
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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Seitz » 24.02.2012 15:55

Weist du warum er bei z4 aufhört die Reihen miteinander zu Multiplizieren?
Weil man bekommt ja sonst ne Reihe für das Residuum raus.

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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von FSW » 24.02.2012 16:24

das ist ne mitschrift aus zeiten, wo die Probeklausuren noch offiziell vorgerechnet wurden... vermute mal es nur drum das prinzip zu zeigen. die variante mit den summen ist da schon schöner
Das Gute an den schlechten Dingen ist, das auch sie ein Ende haben.

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Testaufgaben 2

Beitrag von Astarte » 24.02.2012 18:47

Achtung!!!
Aufgabe 1.01.76 ist falsch abgeschrieben!!!
Richtig lautet diese:
Aufgabe 7.1.76.
In welchen Ringgebieten um z = 1 kann man die Funktion
f(z) =1 / (z³+z²-2)
in eine Laurentreihe nach Potenzen von z-1 entwickeln?
Wie lauten diese Entwicklungen?
Hinweis: Man fÄuhre zunÄachst eine Partialbruchzerlegung von f(z) durch.
Kurzlösung: http://www.math.tu-dresden.de/~kuhlisch ... 0_kurz.pdf

PSW: *

Liebe Grüße
Zuletzt geändert von MrGroover am 24.02.2012 23:34, insgesamt 1-mal geändert.
Grund: Wie war das doch gleich mit den Passwörtern?

Tim65
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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Tim65 » 24.02.2012 20:18

Hat jemand die 23.5 f inbekommen? Ich bekomme immer 80pi/3 raus.

Meine Zylinderkoordinaten sind:
x = rcosq +1
y = rsinq +2
z = z

mit 0<q<2pi, 0<z<4, 0<r<sqrt(z)

divF = z + y = z+ rsinq + 2 = r^2 + rsinq +2

u. dann einfach integriert mit dV=rdqdrdz

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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Seitz » 24.02.2012 23:30

Weis einer wie er auf die Wurzel 5 als Ringgrenze kommt bei der lösung?

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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von FSW » 25.02.2012 11:24

Tim65 hat geschrieben:Hat jemand die 23.5 f inbekommen?
stimmt soweit, nur Vorsicht beim ersetzen von dem z in der Divergenz! Folgendes Integral führt zum Ziel:

\int\limits_{ \varphi = 0}^{2 \pi} \int\limits_{z=0}^4 \int\limits_{r=0}^{\sqrt{z}} (z+r \cdot \sin \varphi +2 ) \cdot r \cdot dr dz d \varphi = \frac{112}{3} \pi

Seitz hat geschrieben:Weis einer wie er auf die Wurzel 5 als Ringgrenze kommt bei der lösung?
Welche Aufgabe meinst du?
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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Seitz » 25.02.2012 12:51

Aufgabe 1.01.76 von oben.

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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von FSW » 25.02.2012 13:27

Seitz hat geschrieben:Wurzel 5 als Ringgrenze
Die Polstellen erhält man zu z=\lbrace 1; -1 \pm i \rbrace. Um eins soll man entwickeln, folglich hat das Ringgebiet z=1 zum Mittelpunkt. Der Abstand der jeweils anderen Polstellen ist

\sqrt{ (-1-1)^2+(\pm 1 -0 )^2 } = \sqrt{5}
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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Seitz » 25.02.2012 15:06

/geklärt

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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Astarte » 25.02.2012 18:58

Aufgabe 23.5c)
Hab folgende Frage:
Ich tippe mal, dass meine Grenzen falsch sind oder ich zu doof bin:
Intregriert werden muss r²*r, so und nun die Grenzen: 0<r<2; 0<φ<180^; und z mit 6<z<6-r²????
irgendwie drehe ich mich im kreis... :(

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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von washmaster » 25.02.2012 19:15

Also ich habe mit 2 Integralen mit den folgenden Grenzen gerechnet:
2<z<6, 0<φ<360°, 0<r< SQRT(6-z) (Oberer Teil)
und
0<z<2, 0<φ<360°, 0<r< z (Unterer Teil)
jeweils r dr dφ dz
Der Winkel sollte klar sein, das z folgt aus der zeichnung, du hast ja zwei verschiedene Körper, den Kegel und das Rotations-Paraboloid.
Der Radius wandert beim Kegel von 0 bis z, beim Rot.-Parab. von SQRT(6-z) bis 0. Diese Grenze folgt aus der Gleichung für A2 (z = 6- x² -y²), wenn man für x und y jeweils die Zylinderkoordinaten einsetzt.

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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von FSW » 25.02.2012 19:23

hab es genau wie washmaster, hier nochmal als Formel:

\underbrace{\int\limits_{\varphi=0}^{2 \pi} \int\limits_{z=0}^{2} \int\limits_{r=0}^{z} r^2 \cdot r \cdot dr dz d \varphi }_{=\frac{16}{5} \pi}  +  \underbrace{\int\limits_{\varphi=0}^{2 \pi} \int\limits_{z=2}^{6} \int\limits_{r=0}^{\sqrt{z-6}} r^2 \cdot r \cdot dr dz d \varphi }_{=\frac{32}{3} \pi}
Das Gute an den schlechten Dingen ist, das auch sie ein Ende haben.

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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Astarte » 25.02.2012 19:25

Danke!!! Gut, ich Depp hab natürlich die zweite Häflte vergessenxD
Aber danke, ein Gebissabdruck weniger auf der Tischkante

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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Tim65 » 25.02.2012 19:56

Man kann bei der Aufgabe 23.5c auch alles in einem Integral integrieren.

0<r<2 , 0<q<2pi

Nach oben wird die Funktion beschränkt durch 6-r^2 u. nach unten durch r
Also: r<z<6-r2

Zuerst nach q integrieren, dann nach z u. zum Schluss nach r.

Ich habe festgestellt, dass man oft besser fährt, wenn man guckt durch welche Funktionen das Gebilde nach oben und unten beschränkt ist, z.B. kommt man so in der Probleklausur von Noack bei Aufgabe 1 viel besser klar, weil mans auch meist alles auf einmal integrieren kann.

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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Astarte » 25.02.2012 20:15

Kannst du da nochmal was reinstellen? Ich hab dem jetzt nicht so ganz folgen können...

Tim65
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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Tim65 » 25.02.2012 20:59

Bei dem 0<z<4 Ansatz schneidet man ein rotierendes Flcähenstück aus u. gibt die Gleichungen an für die untere und obere Grenze des Radius in Abhängikeit von z. Die untere Grenze ist immer r=0. Die obere Grenze ist in zwei Bereichen unterschiedlich. Im Bereich 0<z<2 ist sie r=z. Im Bereich 2<z<6 ist sie r=sqrt(6-r^2).

Bei meinem Ansatz sagt man, dass sich der Radius zwischen 0 u. 2 bewegt. Jetzt muss man z als obere u. untere Begrenzung in Abhänigkeit von r angeben. Die obere Begrenzung ist die Kurve z=6-r^2 u. die untere z = r. Der Vorteil ist, dass die Funktion für untere Grenze u. obere Grenze für den ganzen Körper gilt u. man in einem Rutsch integrieren kann.

Hier mal die Lösung. Prinzipiell kommt man mit beiden Varianten zum Ziel,
aufgabe23punkt5c.pdf
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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von googlehupf » 25.02.2012 23:19

Hey,
hat sich jemand von euch an die 22.11b herangewagt?
- Handelt es sich hierbei um eine geschlossene Oberfläche? Sodass man es mit Stokes rechnet?
Und wieso steht in den Lösungen, dass man die Projektion auf die x-y-Ebene verwenden soll (natürlich berechne ich dadurch die Schnittebene - aber diese muss ich doch in eine der beiden Gleichungen einsetzen)...
Vielleicht könnte jemand seinen Lösungsweg / das Integral mit Grenzen hinschreiben und sagen, wovon ich das OF 2. Art bestimmen muss

Gammalyse
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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Gammalyse » 26.02.2012 09:58

Hey googlehupf,
googlehupf hat geschrieben:Handelt es sich hierbei um eine geschlossene Oberfläche? Sodass man es mit Stokes rechnet?
Onkel Stokes kommt nur bei Kurvenintegrale 2. Art zum Einsatz. Für Oberflächen 2. Art ist unser guter alter Freund Gauß zuständig.

Ich hab leider nicht geprüft, ob die Aufgabe eine abgeschlossene Oberfläche definiert. Ich konnte die Aufgabe jedoch durch den Klassiker FodA als Integrand lösen. dA bekommst du durch (dx/dϕ)x(dx/dr), danach Skalarprodukt mit F und die Grenzen in beiden Fällen (α und β) von

ϕ von 0 bis 2pi
r von 0 bis 1

laufen lassen.

\int\limits_{ \varphi = 0}^{2 \pi} \int\limits_{r=0}^1 dA \cdot F \cdot dr d \varphi

Edit: Ich schätze mal wenn z=2+2x wäre dann könnte man eine abgeschlossene Fläche daraus basteln. Leider scheint in der Aufgabe das Gebiet unter 2+2x definiert zu sein. Bedeutet der Paraboloid ist oben nicht abgedeckt.
googlehupf hat geschrieben:Und wieso steht in den Lösungen, dass man die Projektion auf die x-y-Ebene verwenden soll (natürlich berechne ich dadurch die Schnittebene - aber diese muss ich doch in eine der beiden Gleichungen einsetzen)...
Mit der Projektion meinen die Herausgeber die Gleichsetzung von z=z also r²+2r*cosϕ+1=2+2r*cosϕ um die oberste Grenze vom Radius (also 1) zu bestimmen.

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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von Gena » 26.02.2012 11:51

Hallo,

ich habe da auch nochmal eine frage.

was mache ich, wenn ich das integral über eine geschlossene kurve, genau durch die polstelle verläuft?

also als beispiel:
das geschlossene integral um f(z)=1/(z-1) und der weg ist der einheitskreis.

danke schonmal :D

mfg

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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von kalamazoo » 26.02.2012 12:02

Hi,

ich habe nochmal eine frage zu der Aufgabe 7.1.76... undzwar zu der abgewandelten Form wie sie in den Schwerpunktaufgaben beschrieben steht! Wenn ich mir die Lösung anschaue frage ich mich was mit meinem 1/z passiert ist?! ist das nicht mein HT? und wenn ja warum taucht er in der Lösung nicht mehr auf und warum wird bei der Lösung n=-2 und n=-1 ausgerechnet, anstatt die Summe von -2 bis oo laufen zulassen?!

Vielen dank schon mal an den freundlichen Helfer!

PS: Ich habe mit erstaunen festgestellt das ich nix über Jordan Lemma habe... wenn jemand dazu ein bisschen stoff bereitstellen könnte (mitschriften o.ä.) wäre das super nett... sasvari hatte damals nichts dazu gelehrt...

MfG Oli

googlehupf
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Re: [MATHE] Fragen zu Schwerpunktsaufgaben

Beitrag von googlehupf » 26.02.2012 13:22

Gammalyse hat geschrieben: Onkel Stokes kommt nur bei Kurvenintegrale 2. Art zum Einsatz. Für Oberflächen 2. Art ist unser guter alter Freund Gauß zuständig.
Hier habe ich mich wohl vertippt - ich meinte natürlich Gauß...
Gammalyse hat geschrieben: Edit: Ich schätze mal wenn z=2+2x wäre dann könnte man eine abgeschlossene Fläche daraus basteln. Leider scheint in der Aufgabe das Gebiet unter 2+2x definiert zu sein. Bedeutet der Paraboloid ist oben nicht abgedeckt.
Ich habe gerade die original Aufgabenstellung nicht bei mir, aber steht nicht in der Aufgabe z=< 2+2x, also z<2+2x und z=2+2x sodass ich von einer geschlossenen Oberfläche ausgehen muss?

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