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Mathe 3 Möbiustrans

Verfasst: 25.02.2016 17:31
von chemofisch
Mal eine Frage zur Matheübung Aufgabe 7.1.III.5(Link: http://www.math.tu-dresden.de/~feldm/ma ... rie15n.pdf )

Wie stelle ich die Formel auf? Ich versteh die vorgehensweise nicht.

Re: Mathe 3 Möbiustrans

Verfasst: 25.02.2016 18:28
von ph2.genius
Naja, ich hab das damals mehr mit glücklichem Probieren gelöst.
Bedingung 2 impliziert meiner Meinung nach, besonders im Hinblick auf Bedingung 1: i muss ein Pol der Abbildung sein. Mit ein bisschen probieren hat man schnell eine Lösung. Oder man probiert es analytisch:

Geradenscharen besitzen 2 gemeinsame Punkte: den gemeinsamen Schnittpunkt und Unendlich.
In der z-Ebene hast du die Punkte i und Unendlich. In der w-Ebene die Punkte 1 und Endendlich.
Es gilt ja winkeltreue, und schon vom logischen muss ein gemeinsamer Punkt der z-Ebene ja auch ein gemeinsamer Punkt in der w-Ebene werden, schließlich ist die Abbildungsgleichung, nach der gesucht ist, ja für alle dieselbe.
2 Punkten 2 andere zuordnen macht 2 Möglichkeiten. Aber eine schließt Bedingung 2 ja shcon aus. Also muss w(i) nicht 1, sondern Unendlich sein (i = Pol der Abbildung). Damit hat man im Nenner z-i stehen. Folglich muss das Bild von Unendlich 1 sein, also: w(Unendloich)=1 = a*z +b /z-i ergibt a =1. Die letzte Unbekannte bestimmt man über die 3. Bedingung: i = 1 + b/1-i ergibt b = 1.
Folglich: w = z+i/z-i

Fazit: man sollte wissen, dass alle Geraden den gemeinsamen Punkt Unendlich besitzen.