[Mathe] Lösungsthread KLausur 06/07

tuxianer
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Re: [Mathe] Lösungsthread KLausur 06/07

Beitrag von tuxianer » 26.02.2011 17:52

Zur b)

Also hier ist eigentlich nichts dabei:

I=\int\! \frac{1}{(z-2i)(z+2i){(z-1)}} \, dz

Jetzt schauen, welche Singularitäten in dem Gebiet liegen, um das Integriert wird:

Das wären z_0=1 und z_1=2i

Residuen berechnen:

Res(f,2i)=-\frac 1 {10} + i \cdot \frac 1 {20}
Res(f,1)=\frac 1 5

\Rightarrow I=2 \pi i \cdot (\frac 1 {10}+ \frac 1 {20} i)

Edit: Zum Converter latex2png sieht recht schön aus. Beispiel von der Hersteller Seite: http://hausheer.osola.com/latex2png/XGJ ... result.png

kl3mse
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Re: [Mathe] Lösungsthread KLausur 06/07

Beitrag von kl3mse » 26.02.2011 18:03

wie kommst du denn so schnell auf die residuen?

tuxianer
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Re: [Mathe] Lösungsthread KLausur 06/07

Beitrag von tuxianer » 26.02.2011 18:23

Dazu hatten wir doch in der Vorlesung einen Satz:

\operatorname{Res}_a f = \lim\limits_{z\rightarrow a} (z-a)f(z)

mehr ist das nicht. Du darfst dich nur nicht verrechnen :). Aber zur Kontrolle ist ja diesmal sogar ein Taschenrechner zugelassen.

kl3mse
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Re: [Mathe] Lösungsthread KLausur 06/07

Beitrag von kl3mse » 26.02.2011 18:35

wo gabs denn den satz? der kommt mir irgendwie fremdlich vor..
tut mir leid, irgendwie kann ich den satz weder finden noch (richtig) anwenden. vielleicht brauch ich einfach eine pause, aber eine erklärung wäre auch schön.

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Re: [Mathe] Lösungsthread KLausur 06/07

Beitrag von tuxianer » 26.02.2011 18:41

kl3mse hat geschrieben:wo gabs denn den satz? der kommt mir irgendwie fremdlich vor..
Skript 15.10.3 Satz (ii)

Der ist nur allgemeiner für Polstellen n.-Ordnung.

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Re: [Mathe] Lösungsthread KLausur 06/07

Beitrag von cothem » 26.02.2011 19:02

Mal zur Aufgabe 7.1.33,

ich versuch schon seit Ewigkeiten, diese Aufgabe irgendwie logisch zu lösen. Hatte mir zwar in der Übung etwas dazu aufgeschrieben, kanns aber nicht mehr nachvollziehen, da die Mitschrift nicht vollständig ist. Muss man denn bei der a) diese Eulersche DGL. lösen, die wir ja nicht behandelt hatten, oder wie habt Ihr das so gemacht? Ein Lösungsweg wäre super ;)

Danke.
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Re: [Mathe] Lösungsthread KLausur 06/07

Beitrag von laces » 26.02.2011 19:13

tuxianer hat geschrieben:Dazu hatten wir doch in der Vorlesung einen Satz:

\operatorname{Res}_a f = \lim\limits_{z\rightarrow a} (z-a)f(z)

das ist für polstellen 1. ordnung, also ein spezialfall. für n.Ordnung siehts noch bissl anders aus. bei mir im merziger unter residuen (s. 185)

zur aufgabe 7.1.33 ein anhang
Du hast keine ausreichende Berechtigung, um die Dateianhänge dieses Beitrags anzusehen.

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Re: [Mathe] Lösungsthread KLausur 06/07

Beitrag von tortue » 26.02.2011 19:25

tuxianer hat geschrieben:Zur b)

Res(f,2i)=-\frac 1 {10} + i \cdot \frac 1 {20}
Res(f,1)=\frac 1 5

\Rightarrow I=2 \pi i \cdot (\frac 1 {10}+ \frac 1 {20} i)

du hast das minus vor 1/10 vergessen mitzuziehen

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Re: [Mathe] Lösungsthread KLausur 06/07

Beitrag von laces » 26.02.2011 19:30

die residuen werden aber addiert nach dem residuensatz... -1/10+1/5 = 1/10

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Re: [Mathe] Lösungsthread KLausur 06/07

Beitrag von laces » 26.02.2011 19:34

tuxianer hat geschrieben:Zur b)

Also hier ist eigentlich nichts dabei:

I=\int\! \frac{1}{(z-2i)(z+2i){(z-1)}} \, dz
wäre das nich eigentlich die c) und müsste das dann nich so aussehen (nur (z+1) anstatt (z-1))

I=\int\! \frac{1}{(z-2i)(z+2i){(z+1)}} \, dz

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Re: [Mathe] Lösungsthread KLausur 06/07

Beitrag von tuxianer » 26.02.2011 20:20

laces hat geschrieben:
tuxianer hat geschrieben:Zur b)

Also hier ist eigentlich nichts dabei:

I=\int\! \frac{1}{(z-2i)(z+2i){(z-1)}} \, dz
wäre das nich eigentlich die c) und müsste das dann nich so aussehen (nur (z+1) anstatt (z-1))

I=\int\! \frac{1}{(z-2i)(z+2i){(z+1)}} \, dz
ja da hast du recht. Da habe ich wohl die Aufgabe falsch aufs Blatt übertragen. Die Residuen dürften damit auch andere sein, als in der Klausuraufgabe. Ich glaube bei dem Residuum bei 2i wechselt das Vorzeichen beim Imaginärteil. Also am besten nochmal nachrechnen. Aber vom Herangehen sollte das keinen Unterschied darstellen.

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Re: [Mathe] Lösungsthread KLausur 06/07

Beitrag von goetz » 27.02.2011 14:30

Könnte bitte mal jemand posten, wie man bei der Aufgabe 1) auf den Ansatz für die Homogene Lösung kommt? vorallem, was ihr mit dem Sinus gemacht habt.
Dankeschön!

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Re: [Mathe] Lösungsthread KLausur 06/07

Beitrag von cothem » 27.02.2011 15:28

Also erstmal, die Lösung am Anfang des Threads bezieht sich auf Aufgabe 1 der Klausur Gruppe A (auch wenn das File b heißt).

Aber wegen dem e^(-x)sin(x) -- das sagt dir an, dass eine komplexe Nullstelle existiert bei -1 plus minus 1i.

Das x e^(2x) zeigt dir, dass eine doppelte NST bei 2 existiert. Dadurch kannst du den folgenden Therm aufstellen:

0 = (x+(1-i))*(x+(1+i))*(x-2)*(x-2)

Den Therm jetzt noch ausmultiplizieren, liefert das Polynom:

0 = x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 8 und somit deine DGL: y'''' - 2y''' - 2y'' + 8y = 0

fertig.
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Re: [Mathe] Lösungsthread KLausur 06/07

Beitrag von goetz » 27.02.2011 15:32

Das ist auch logisch. Aber es war einfach nur verwirrend, dass dasteht, zur Gruppe B.
Danke!

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Re: [Mathe] Lösungsthread KLausur 06/07

Beitrag von laces » 27.02.2011 15:40

cothem hat geschrieben:Also erstmal, die Lösung am Anfang des Threads bezieht sich auf Aufgabe 1 der Klausur Gruppe A (auch wenn das File b heißt).

Aber wegen dem e^(-x)sin(x) -- das sagt dir an, dass eine komplexe Nullstelle existiert bei -1 plus minus 1i.

Das x e^(2x) zeigt dir, dass eine doppelte NST bei 2 existiert. Dadurch kannst du den folgenden Therm aufstellen:

0 = (x+(1-i))*(x+(1+i))*(x-2)*(x-2)

Den Therm jetzt noch ausmultiplizieren, liefert das Polynom:

0 = x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 8 und somit deine DGL: y'''' - 2y''' - 2y'' + 8y = 0

fertig.
zu welcher klausur bezieht sich das?

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Re: [Mathe] Lösungsthread KLausur 06/07

Beitrag von cothem » 27.02.2011 15:46

Vom 01.03.2007, Gruppe B, Aufgabe 1
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Re: [Mathe] Lösungsthread KLausur 06/07

Beitrag von laces » 27.02.2011 17:00

wo finde ich die? im downloadbereich?

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Re: [Mathe] Lösungsthread KLausur 06/07

Beitrag von goetz » 27.02.2011 17:04

Nein soweit ich weis nicht.
Frau Dr. Kuhlisch hat sie bei uns während einer Übung mal ausgeteilt. Aber die ist abgesehen von ein paar Zahlendrehern genauso wie die Gruppe A.

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Re: [Mathe] Lösungsthread KLausur 06/07

Beitrag von laces » 27.02.2011 17:40

achsooo, das soll einer wissen....^^

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