Notizen zur heutigen SystemtheorieKlausur

Violetta · Beitrag von **Violetta** » 04.08.2011 14:33

Halli Hallo,
ich mache mir grade ein paar Notizen zur SystemtheorieKLlausur, die wir ja heute geschrieben haben.Und versuche mich deshalb daran genau zu erinnern.
Kann mir jemand nochmal sagen, was in der 3.Aufgabe gefragt war??
Danke,

morizm · Beitrag von **morizm** » 04.08.2011 14:43

Phasenfrequenzgang von $\frac{(z^2-1)^2}{z^4}$ berechnen + darstellen und Impulsantwort angeben
war auch irgendwo in den Prüfungsaufgaben ausm Heft

Violetta · Beitrag von **Violetta** » 04.08.2011 14:43

Ach, und dann noch eine Frage: wie hat man bei Aufgabe 5 rausgefunden, was Allpass und was Mindestphasensystem ist bei dieser Übertragungsfunktion?
Und wie hat man anhand der einzelnen Funktionen für G(s)Allpass undG(s) Mindestphasensystem rausgefunden, ob das Gesamtsystem stabil ist?? Wie hatte man da z.B Hurwitzkriterium anzuwenden?

kl3mse · Beitrag von **kl3mse** » 04.08.2011 14:43

[edit] hehe, zu spät...

Violetta · Beitrag von **Violetta** » 04.08.2011 14:44

@morizm:
weißt du wie man das löst ?:) Ansatz wäre toll...

kl3mse · Beitrag von **kl3mse** » 04.08.2011 14:46

ansatz: $\varphi(\Omega)=arg(G(z))$ mit $z=e^{j\Omega}$
also z ersetzen, ausklammern, vereinfachen. dann blieb bei mir irgendwas mit $arg(G(z))=1+e^{irgendwas}+e^{irgendwas anderes}$ stehen.

Beitrag von **Hans Oberlander** » 04.08.2011 14:46

Es wäre erstmal schön, wenn ihr die Klausur zusammentragt. Lösen könnt ihr sie immernoch

morizm · Beitrag von **morizm** » 04.08.2011 15:01

kl3mse hat geschrieben:ansatz: $\varphi(\Omega)=arg(G(z))$ mit $z=e^{j\Omega}$
also z ersetzen, ausklammern, vereinfachen. dann blieb bei mir irgendwas mit $arg(G(z))=1+e^{irgendwas}+e^{irgendwas anderes}$ stehen.

ich habs so gemacht:
$\frac{z^{-2}+z^2-2}{z^2}$

mit $z^2+z^{-2}$ = 2*Re{z}

kam ich dann auf $arg(G) = arg(2*cos(2\omega) - 2) - arg(exp(2j\omega)) = -2\omega$

Sehe · Beitrag von **Sehe** » 04.08.2011 16:47

Bedenkt bitte, dass auf der Klausur ein Vermerk war, der nochmal explizit auf das Copyright des Lehrstuhl auf die Klausur hinweist und jegliche unberechtigte Vervielfältigung untersagte.

Beitrag von **Hans Oberlander** » 04.08.2011 16:58

Violetta · Beitrag von **Violetta** » 04.08.2011 17:45

Hey,
wieso stehen dann die Klausuren aus SS2008 und SS2009 drin?
Dann wäre das ja auch nicht erlaubt....

Sehe · Beitrag von **Sehe** » 04.08.2011 18:19

Ich wollts ja nur mal anmerken. Nicht, dass dann hier jemand rumweint, weil ihn Kordon im Schwitzkasten hat (hihi, lustige Vorstellung).

haffael · Beitrag von **haffael** » 04.08.2011 21:03

Sehe hat geschrieben:Bedenkt bitte, dass auf der Klausur ein Vermerk war, der nochmal explizit auf das Copyright des Lehrstuhl auf die Klausur hinweist und jegliche unberechtigte Vervielfältigung untersagte.

wie peinlich:D dann sollten sie sich für ihr copyrightgeschütztes material auch was neues ausdenken, nicht die aufgaben aus dem übungsheft...

übrigens:
$arg z^2 = 2 arg z$
glaube damit kommt man sehr viel schneller voran bei aufgabe 3.

aufgabe 5 hab ich nicht noch gesondert mit hurwitz betrachtet, weil ja aus den vorbetrachtungen schon klar war dass alle pole negativen realteil haben. hoffe das passt dann auch so.

ich fands krass dass auf die aufgabe 1 gleich 11 punkte waren. das waren bei mir ne dreiviertl seite und keine 10 minuten arbeit. es sei denn ich hab da was falsch -.-

M_A_D · Beitrag von **M_A_D** » 04.08.2011 22:45

Hans Oberlander hat geschrieben:Es wäre erstmal schön, wenn ihr die Klausur zusammentragt. Lösen könnt ihr sie immernoch

viewtopic.php?f=56&p=84380#p84380

Bild

haffael · Beitrag von **haffael** » 05.08.2011 00:38

zu 5.
wenn ich mich recht erinnere.

$G(z) = \frac{(z+1)(z^2-4z+8)}{(z+2)(z^2+z+0.5)}$

a) in Allpass-/Mindestphasensystem umrechnen und PN-Diagramm zeichen.
Nullstellen waren z=-1 und z=2+-4j, Polstellen -2 und -0.5+-0.5j
b) anhand von Roth, Nyquist oder Ortskurve Stabilität feststellen. Wobei man das ja schon vorher wusste

Pätz · Beitrag von **Pätz** » 05.08.2011 09:16

@morizm:
Auch wenn dein ansatz meiner meinung nach echt genial ist, hat sich bei dir doch ein kleiner fehler eingeschlichen:

$2 \cdot cos(2\Omega)$ ist stets $\le 2$ .
=> $2 \cdot cos(2\Omega) - 2$ ist stets $\le 0$ und jede komplexe Zahl z mit $Re(z) < 0$ und $Im(z) = 0$ hat das Argument $\pi$ .
=> Lösung:
$arg(G) = arg(2 \cdot cos(2 \Omega) - 2) - arg(e^{2j \Omega}) = \pi - 2 \Omega$

kl3mse · Beitrag von **kl3mse** » 05.08.2011 09:44

b) anhand von Roth, Nyquist oder Ortskurve Stabilität feststellen. Wobei man das ja schon vorher wusste

das muss heissen: routh, hurwitz oder ortskurve.

ben0225 · Beitrag von **ben0225** » 05.08.2011 10:20

@ Pätz
Ich habe diese Aufgabe auch so gelöst

haffael · Beitrag von **haffael** » 05.08.2011 10:35

kl3mse hat geschrieben:
b) anhand von Roth, Nyquist oder Ortskurve Stabilität feststellen. Wobei man das ja schon vorher wusste
das muss heissen: routh, hurwitz oder ortskurve.

stimmt. war schon spät

meine lösung zur 3

$\arg \left(\frac{z^2-1}{z^2}\right)^2 = 2 \arg (1-\frac{1}{z^2}) = 2 \arg ( 1 - e^{-2j\Omega}) = \\ 2 arg(1-\cos(2\Omega)+j\sin(2\Omega)) = 2 \arctan \frac{\sin(2\Omega)}{1-\cos(2\Omega)} = \\ 2\arctan \frac{2\sin\Omega\cos\Omega}{1-\cos^2\Omega+\sin^2\Omega} = 2 \arctan \frac{2\sin\Omega\cos\Omega}{2sin^2\Omega} = 2 \arctan( \frac{1}{\tan\Omega}) = -2\Omega$

Pätz hat geschrieben:@morizm:
$2 \cdot cos(2\Omega)$ ist stets $\le 2$ .
=> $2 \cdot cos(2\Omega) - 2$ ist stets $\le 0$ und jede komplexe Zahl z mit $Re(z) < 0$ hat das Argument $\pi$ .

klugscheissmodus: nur wenn Im(z) = 0

aber irgendwie hast du mit deiner lösung schon recht. Wolfram Alpha spuckt auch einen Graph aus, der bei pi losfährt.. da stimmt wohl $\arctan(tan(x)) = x$ nicht bei mir.. -.-

Pätz · Beitrag von **Pätz** » 05.08.2011 12:23

@haffael:
ja Im(z) = 0 muss natürlich noch dazugesagt werden. habs geändert oben.

hättest du an die tafel geschaut in der klausur, wäre dir dein fehler erspart geblieben;)
da stand $cot(x) = - tan(x-\frac{\pi}{2})$ .
damit ist $2 \cdot arctan(\frac{1}{tan(\Omega)}) = 2\cdot arctan(cot(\Omega)) = 2\cdot arctan(- tan(\Omega - \frac{\pi}{2})) = - 2\cdot (\Omega - \frac{\pi}{2})$

haffael · Beitrag von **haffael** » 05.08.2011 12:39

in der klausur hab ich sowieso beim kürzen scheiße gebaut und tan statt cot rausbekommen

von daher konnte ich mit der cot-formel nichts anfangen. Hätte mich natürlich fragen können, warum die da dann steht..

kann mal einer hier den fehler finden?
$\pi - 2x \; = \; 2 \arctan(-tan(x-\frac{\pi}{2}) \; = \; 2 \arctan(\cot x) \; = \\ = \; 2\arctan(\tan^{-1}x) = -2\arctan(\tan x) \; = \; -2x$
muss was mit der eindeutigen zuordnung von tan(x)<-> x zu tun haben...

ben0225 · Beitrag von **ben0225** » 05.08.2011 13:21

@ haffael：
2arctan(cot(x))=2arctan(tan(pi/2-x))=2(pi/2-x)=pi-2x

morizm · Beitrag von **morizm** » 05.08.2011 13:57

Pätz hat geschrieben:@morizm:
Auch wenn dein ansatz meiner meinung nach echt genial ist, hat sich bei dir doch ein kleiner fehler eingeschlichen:

$2 \cdot cos(2\Omega)$ ist stets $\le 2$ .
=> $2 \cdot cos(2\Omega) - 2$ ist stets $\le 0$ und jede komplexe Zahl z mit $Re(z) < 0$ und $Im(z) = 0$ hat das Argument $\pi$ .
=> Lösung:
$arg(G) = arg(2 \cdot cos(2 \Omega) - 2) - arg(e^{2j \Omega}) = \pi - 2 \Omega$

mist - du hast recht!

Beitrag von **Hans Oberlander** » 05.08.2011 14:12

Wenn ihr daran Interesse habt, könnt ihr ja nach den Aufgaben nun noch die Lösungen zusammentragen

Pätz · Beitrag von **Pätz** » 05.08.2011 14:37

@haffael:
der fehler liegt in der letzten zeile.
$2\cdot arctan(tan^{-1}(x)) \not= -2\cdot arctan(tan(x))$ .
Die richtige Beziehung lautet:
$2\cdot arctan(-tan(x)) = -2\cdot arctan(tan(x))$ oder allgemein $arctan(-x) = -arctan(x)$ weil arctan ja ne punktsymm. Fkt is

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