FEM Klausur

[urxijoker]

Hi mal ne Frage, In der Klasur 04/05, die es hier auf netaction gibt hab ich gesehen, dass es 2 aufgaben mir balkenbiegung gibt.

Da wir ja Unterlagen verwenden dürfen(außer Übungen) besteht die Aufgabe ja daraus sich den einen Zettel zu Balkenelemnten zu schnappen und einfach einsetzten??? Danach noch n bisl Bubblesort mit Matrizen spielen...
Herleitungen sind doch bestimmt nicht erwünscht, sonst würde da ja den zeitlichen Rahmen sprengen.Wie in der Übung
Also Frage ist an die,die die Prüfung schonmal geschrieben haben. Ist die Klausur so ätzend wie die Übung oder läuft dass so wie Feldtheorie

[zwen_zwenson]

Mich würde auch mal interessieren auf was man sich eigentlich vorbereiten soll, langsam wird die Zeit ein wenig knapp ich bisher eigentlich keine Ahnung. Muss man sich das ganze wie die 2007er Klausur vorstellen? Oder vielleicht wie das Quiz, wobei das recht machbar ist wie ich finde.

[malediction]

Also wir haben mal in der konsultation gefragt, wie das so ca. aussehen wird. Da meinte die Frau (ich weiß Ihren Namen nicht), dass die Klausur an die Vorlesungsquiz' angelehnt sein wird...

Angeblich gibt es in dem Fach auch, so wörtlich "viel zu wenige Aufgaben, die man noch per Hand und ohne Matheprogramm lösen kann". Das ist auch der Grund, dass es zu den Übungen keine "Schritt-für-Schritt"-Lösung gibt.
Und man könnte daraus ja nun schlussflogern (ohne dass ich es weiß), dass die Klausuren jedes Jahr ähnlich sind, weil es ja nicht viele mögliche Aufgaben gibt... Vielleicht machen sie sich ja auch die Mühe (wie andere Porfs des Instituts ), einige Pfeile umzudrehen oder Vorzeichen zu ändern...

Aber das ist nur eine Vermutung. Besser wäre natürlich, wenn ein Imma-2006er hier noch mal was erzählen könnte, wie es letztes Jahr war...

Grüße und schönen Sonntag allerseits!

[zöch]

hi,
also ich hab das Glück, sie nocheinmal schreiben zu dürfen. In der Klausur aus dem letzten JAhr lagen die Schwerpunkte auf: einmal sowas mit Kollokation, Galerkin,... dann ein einfaches Balkenelment, wo man verdrehungen und auflagerkräfte berechnen sollte, dann eine rwa, wo man via fundamentallsg. und rem u bzw. u' berechnen sollte und natürlich ein fragenteil.
Das sind ja im Groben die Dinge, die unser Dozent auch in der letzten Vl genannt hat.

[Wohnzimmer-Assi]

ich habe mal 2 Fragen zur 2007er Prüfung (klick)

Aufgabe1) Wie soll man K herleiten? Aus der Potentialformel schließe ich, dass es sich um einen Zugstab handelt. Dieser hat im 1D-Raum ja ein K = E*A/L*[1,-1;-1,1] ... soll das die Lösung sein?

Aufgabe2) Müssen hier zwischen den Knoten 2-3 und 3-4 Stäbe eingefügt werden dessen Steifigkeit gegen unendlich geht?

[SPO]

zu 1. du musst dieses pi einmal nach u1 und einmal nach u2 ableiten, dann umsortieren und dann hast du K raus

meine lösung war da ähnlich zu deiner

[c, -c, -c, c]

wie mir scheint, kannst du die 3. aufgabe?

[malediction]

@SPO:
so haben wir das auch gemacht...
nu is aber die frage: da is ja noch das q drin. Und dazu war ja nüscht gegeben in der Aufgabe. wurde das beim abschreiben vergessen oder setz ich das einfach so mal eben null?!
Und wie würde das gnaz funktionieren, wenn ich das Potenzial nur als Integral gegeben hab (so wie in der 2004er Klausur)...?

Er hat dazu was in der VL gemacht (Direkt unter Punkt 3), aber das verstehen wir nicht...

Hat da wer ne Idee?!

[Wohnzimmer-Assi]

q hat in K nix zu suchen weil das in den Vektor der äquivalenten Knotenlasten gehört.

Aufgabe3 ... a bekomm ich hin... danach hab ich kapituliert

[malediction]

na das des net in K gehört is mir schon klar... aber es geht ja um die berechnung der werte, weil das q ja mit im GLS enthalten is, kann ich das ja net einfach vernachlässigen...

[Wohnzimmer-Assi]

naja dann muss q wohl ins f mit rein...


...hat jemand ne Idee für 3b,c?

[SPO]

ich hab das q auch ins f reingepackt und dann null gesetzt

wo nischt is, kann auch nix sein ^^

zu 3.b und c ....gibts nich viel von mir

[zöch]

hier vllt. ein kleiner hinweis zur 3.)
die gegebene DGl hat ja die From u''(x)+q=0.
nun Seite 154 im Skript: D(u(x))+p=0 ist analog wobei D(u(x))=u'' , dann darunter die zeile ist die DGL der Fundamentallsg. w''=diracimpuls/f(r) , wobei f(r) in unserem 1D Fall 1 ist. Nun berechnet ihr die Fundamentallsg. durch zweimaliges integrieren des Diracimpulses, was nach Skript S.92 (5.1.1) folgendes ergibt: w=1/2*abs(x-zeta) . Nun guckt ihr auf der nächsten Seite wie es weiter geht: dort gibts die Gelichung u(zeta) ->(5.1.3). für zeta setzt ihr einmal zetaa(linker rand)=xa+epsilon bzw zetab(rechter rand)=xb-epsilon ein, der Spaß nennt sich Kollokation (xa=0, Xb=L) [ epsilon geht gegen 0, beachtet das Verhalten der sign-Funktion ( ist w' !!!)] und unter 5.1.4 steht dann, wo ihr eure bekannten bzw unbekannten RAndgrößen findet: ua=u(0) , ub=u(L), ua'(0)=u0', ub'=u'(L).... so klingt schwierig, es ist aber machbar. Wichtig ist, dass ihr es, wenn ihr die zwei u(zeta) habt, diese dann Null setzt (ist so ) und dann in die unter 5.1.4 befindliche matrixform bringt. Au diesem Gleichungssystem bekommt ihr die gesuchten Randgrößen.
Diese (insgesamt nun 4) setzt ihr bei drittens in u(x) und dann sollten sie sich bestätigen.
So denn viel Spaß beim tüfteln und entschuldigt die Form...

[Wohnzimmer-Assi]

hehe tüfteln triffts ganz gut...

danke zöch!

[lusch3]

Hat das schon einer komplett gerechnet und ist auf die G-Matrix wie in der VL gekommen? Meine ist komplett positiv....

[Wohnzimmer-Assi]

da musst du dich verrechnet haben, denn
w'=1/2*sign(s)
und
s=xa-zetaa<0 --> sign(s)=-1
s=xa-zetab<0 --> sign(s)=-1
s=xb-zetaa>0 --> sign(s)=1
s=xb-zetab>0 --> sign(s)=1

aber... wie kommt man auf I? bzw. was ist w(x,zeta)dx ?
Edit: aaaah... lol ... ich brauch ne Pause

[Wohnzimmer-Assi]

mal ne Frage zum Stab unter Eigengewicht (2. Aufgabe) der Prüfung von 2004

man soll sich hier zwei lineare Funktionen f0 und f1 wählen. Nimmt man da am bessten f0=1 und f1=s ?

weil ich das gemacht habe und die Ableitungen von pi nach u0 und u1 nur Mist ergeben

[cornholio]

f0 und f1 sind formfunktionen.
d.h f0=1-s/L ; f1=s/L
wenn die dann anch der summenformel zusammengerechnet haste ne kontinuierliche funktion über das gesamte element in abhängigkeit von den verschibungen am rand.

[zman]

Du nimmst als Formfunktionen zwei lineare Funktionen, die du dann summierst, also im Grunde nur eine Funktion. Allerdings normiert auf die Länge, also in Abhängigkeit von µ:

µ=s/L ; dµ=ds/L

zum Beispiel könnte das diese hier sein:
u(µ)=(1-µ)*u_0 + µ*u_1 ; also f_0=1-µ und f_1=µ
damit ist u'(µ)=(1/L)*(-u_0 + u_1)

Das setze ich in die gegebene Potentialformel ein, leite diese nach u_0 bzw. u_1 ab und erhalte folgendes:
dPi/du_0 = 0 = -EA(u_1 - u_0) + (q*L^3)/2 - q*L² - F_0 und
dPi/du_1 = 0 = EA(u_1 - u_0) - (q*L^3)/2 - F_1

Das kann man jetzt eigentlich schön in die Matrizen einsortieren.

[malediction]

nabend...

wie wärs, wenn wir mal versuchen die antworten auf die bekannten theoriefragen zusammenzustellen?
ich fange einfach mal an, wer ergänzungen/verbesserungen hat, immer her damit.

F1: Was ist Konvergenz?
A1: Strebt eine Funktion/Folge einem endlichen Grenzwert entgegen, so nennt man sie konvergent.

F2: Vergleichen Sie h- und p-Konvergenz!
A2: h-Konvergenz: Durch Zerlegung des betrachteten Teilgebietes in immer mehr (und immer kleinere) Abschnitte wird ein Maximum an Genauigkeit der Näherungslösung erreicht.
p-Konvergenz: Durch Erhöhung des Polynomgrades der beschreibenden (Ansatz-)Funktion des betrachteten Teilgebietes wird ein Maximum an Genauigkeit der Näherungslösung erreicht.

F3: Welche RWA sind für REM geeignet und warum?
A3: Die inverse Form der gewichteten Residuen. (Warum kann ich ehrlich gesagt nicht sagen... )

F4: Was ist Kondensation und wo wird es verwendet?
A4: Bei der statischen Kondensation werden die Mittelknoten durch Teilinversion der
Steifigkeitsmatrix eliminiert. Die Qualität des Elementes bleibt dabei erhalten. Sie kann bei allen Problemen verwendet werden, die einen Mittelknoten besitzen.

F5: Erklären Sie die Methode der gewichteten Residuen anhand:
a) starke Form
b) schwache Form
c) inverse Form
A5: Bei der Methode der gewichteten Residuen benötigt man eine Ansatzfunktion sowie eine Wichtungsfunktion, welche je nach Form verschiedene Bedingungen erfüllen müssen:
a) Die Ansatzfunktion muss 2n mal stetig, nichttriviel diffbar sein und ALLE RB exakt erfüllen. Die Wichtungsfunktion kann auf verschiedene Arten gewonnen werden und muss keien besonderen Anforderungen erfüllen.
b) Die Ansatzfunktion udn die Wichtungsfunktion müssen beide n mal nichttriviel, stückweise stetig diffbar sein. Außerdem müssen sie die wesentlichen RB exakt erfüllen.
c) An die Ansatzfunktion wird keine spezielle Anforderung gestellt. (Über Anforderungen an w habe ich nichts gefunden...)

F6: Was gehört zu einer vollständigen RWA?
A6: DGL sowie natürliche und wesentliche RB.

F7: Warum verwendet man zur Lösung vieler RWA die Methode der finiten Elemente?
A7: Es ist oft nicht möglich, für eine beliebige Geometrie eines Gebietes und beliebige Belastungen mit Näherungsfunktionen, deren Wertigkeitsbereich sich über das gesamte Gebiet erstreckt, zu brauchbaren Lösungen der RWA zu kommen. Daher zerlegt ma ndas Gesamtgebiet in endliche Teilgebiete (die finiten Elemente, FE). Für jedes Element werden nun Ansatzfunktionen (z.B. Polynome niedriger Ordnung) gewählt. So kann man brauchbare Näherungslösungen berechnen.

F8: Über welche Form der RWA kommt man zur Methode der Rand-Elemente (REM) und wie?
A8: Über die inverse Form der Methode der gewichteten Residuen, indem man Als Wichtungsfunktion eine Fundamentallösung verwendet.

F9: Welche Plausibilitätsbedingung sollte man bei den numerischen Lösungen von RWA überprüfen?
A9: ........ (keine Ahnung... )

F10: Welche physikalischen Bedingungen sind bei der FEM an den Elementübergängen exakt erfüllt udn welche sind i.a. nur näherungsweise erfüllt?
A10: ....... (auch kein Plan...)

F11: Für welche Art von RWA ist die REM besonders gut geeignet und warum?
A11: ...(Ich hätte jetzt wieder gesagt inverse Form, aber iwie ergibt das keinen Sinn...)

F12: Welche Bedinungen muss eine Fundamentallösung w*(x) der gewöhnlichen Differentialgleichung D(u(x))=p(x) erfüllen?
A12: ... (erneut stehe ich auf dem Schlauch)


so das waren erst mal alle fragen, die ich iwo gefunden hab...
wär nett, wenn noch wer was ergänzen könnte. seien es fragen oder antworten...

grüße!

[zöch]

@ lusch3: Ich hatte die G mAtrix auch komplett positiv raus, da hast du richtig gerechnet, denke ich. Nur guck mal im Skript, die ziehen da, glaube bei 5.1.4 auf der hauptdiagonalen 1 ab! dan kams raus. Muss man dann wohl so machen...

Schonmal viel Erfolg an alle morgen

[floschwa]

@malediction:
ich versuch mich mal an den Fragen 9-12:

A9: ich denk mal, hier muss man prüfen, ob die Lösung auch die DGL, bzw die RB erfüllt

A10:exakt: wesentliche RB (also die Verschiebungs-RB), näherungsweise: natürliche RB (diese sind nur im "integralen Mittel" erfüllt)

A11:REM is besonders für Probleme mit hohem Feldgradienten geeignet...
(hab das am Anfang nich ganz gerafft, aber es ergibt Sinn, weil man sonst ein sehr feinmaschiges FEM-Netz bräuchte, um eine gewisse Genauigkeit zu erreichen)
Außerdem kann man wohl noch ganz allgemein Voll-/Halbraumprobleme hinschreiben

A12:bin mir nich sicher, obs hier auch so einfach ist, aber die Fundamentallösung muss halt auch Lösung der DGL sein

[zman]

Muss man dann wohl so machen...

Die 1, die auf der Hauptdiagonalen abgezogen wird, resultiert daher, dass vorher auf der linken Seite noch ein u(0) bzw. u(L) steht, welches dann auf der rechten Seite abgezogen werden muss.

Gleichung 5.1.3, letzte Zeile:
u(zeta) = .... -[u'(x)*w(x,zeta) - u(x)*w'(x,zeta)]

Jetzt für
zeta_a=x_a+eps = 0+eps bzw.
zeta_b=x_b+eps=L+eps setzen, wobei eps->0 geht.
Daher ist zeta_a=0 und zeta_b=L und damit gilt
u(zeta_a)=u(0) und u(zeta_b)=u(L)

also:
u(zeta_a) = u(0) = .... - w'(0,zeta_a)*u(0) ...
u(zeta_b) = u(L) = ...- + w'(L,zeta_b)*u(L) ...

umstellen, dass die linke Seite Null ist....

0 = .... (-w'(0,zeta_a) - 1)*u(0) ...
0 = .... (w'(L,zeta_b) - 1)*u(L) ...

damit sind die Einträge auf der Hauptdiagonalen von G:
(-w'(0,zeta_a) - 1) und
(w'(L,zeta_b) - 1)

[lusch3]

@zman

Yay! That does the trick . Super, damit geht alles auf.

@malediction

F3 würde ich anders beantworten:

Geeignete RWA sind diejenigen, die eine Fundamentallösung besitzen, denn ohne funktioniert die inverse Form nicht.

[zöch]

@zman: danke, hat sich das also auch noch geklärt!

[^,^]

Ist das Quiz eine Übungsaufgabe oder kann ich die Aufgaben abschreiben?