Klausuren

[Butterkeks]

Hey, danke für eure Mühe!
zu 6.: Ist die allgemeine Form bei der Ausgleichsrechnung nicht p_n(x) = a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + ... ?
Dann wäre die Lösung nämlich p_2(x) = -8/7 + 4/7 x^2

Und zur Herleitung des Polynomenzugverfahrens: Man geht davon aus dass für nicht zu große h gilt:
y'=f(y_i) = 1/h * (y_i+1 - y_i) (=Δy/Δx)
y_i+1 - y_i = h * f(y_i)
y_i+1 = y_i + h * f(y_i)

[Yaquir]

jo das ging aber schnell mit ner 2. und 3. meinung!
Stimmt aufgabe 6 stimmt nicht, das werde ich ändern, danke!
Mein Fehler in Aufgabe 1 ist (gleich) auch korrigiert.

So wie ich das gehört habe hat er das Polygonzugverfahren mal mehr oder weniger beiläufig kurz erklärt in der Vorlesung, aber n offizielles script existiert ja leider nicht. Sehr hilfreich wenn man in der Klausur zum ersten mal von der Methode hört.

Anmerkungen zu den Lösungen:
2. Ich glaube in der Aufgabenstellung wurde damals erwähnt dass die Funktion monoton fallend ist, NST müsste deshalb wohl eindeutig sein

3. b) Vermutlich kann n=0 sein, sodass nur 2 Stützstellen existieren, ich glaube mich zumindest daran zu erinnern dass er mir das in der Einsischt erklärt hat

4. hast du die 1. ableitung berechnet..

5. sieht einfacher und besser aus, aber ich verstehs nicht Müsste man zum Nachweis der Exaktheit nicht eine allg. Funktion 1. grades (f(x)=ax+b statt f(x)=x) nehmen oder übersehe ich da etwas?

[p.parazzi]

3. b) Vermutlich kann n=0 sein, sodass nur 2 Stützstellen existieren, ich glaube mich zumindest daran zu erinnern dass er mir das in der Einsischt erklärt hat

Aber wenn ich Zwei Stützstellen habe, kann ich ja wohl kaum zwei Polynome angeben die jeweils nur eine Teilmenge der Stützstelle haben. Oder kann ich das? Das wären ja zwei Funktionen die vom Grad 0 sind.
Für die Frage würde ich glatt mal im Büro vorbei schauen.

4. hast du die 1. ableitung berechnet..

Verdammt. Den Fehler mach ich gerne. Danke!

5. Müsste man zum Nachweis der Exaktheit nicht eine allg. Funktion 1. grades (f(x)=ax+b statt f(x)=x) nehmen oder übersehe ich da etwas?

Naja, man muss es sich ja nicht unnötig schwer machen. So hab ichs jedenfalls aus der Übung mitgenommen.

Ich werd die Tage noch alle anderen Lösungsversuche hier hochladen. Wäre cool, wenn wir die Diskussion am laufen halten!

[Yaquir]

Aber wenn ich Zwei Stützstellen habe, kann ich ja wohl kaum zwei Polynome angeben die jeweils nur eine Teilmenge der Stützstelle haben. Oder kann ich das? Das wären ja zwei Funktionen die vom Grad 0 sind.
Für die Frage würde ich glatt mal im Büro vorbei schauen.

Wieso nicht? Wenn der grad der Polynome 1 wäre, würden die jeweils ja auch nur eine Teilmenge der Stützstellen interpolieren.
und ja die wären dann vom grad 0.

Naja, man muss es sich ja nicht unnötig schwer machen. So hab ichs jedenfalls aus der Übung mitgenommen.

Naja, ich dachte es ist nicht unnötig, es könnte ja auch polynome 1. Grades geben, aus denen man ein anderes gamma berechnen lässt. Für mich sieht das so aus als würde man eben nur für 1 polynom nachweisen, dass die exakte integration klappt. Aber wenns in der übung so angeschrieben wurde muss es ja stimmen

[p.parazzi]

Loesungsvorschlag_SS13.pdf

[Yaquir]

Bei Aufgabe 6 ist die f(1), nicht f(2) gegeben. Ist das ein Fehler in der Klausur oder echt so gemeint? Habe keine ahnung wie das funktionieren soll wenn der gegebene Wert keine Stützstelle ist..

Und in Aufgabe 2a) müsste die größte Zahl (4/5+4/5^2)*5^2=24 sein.

[Butterkeks]

bei 2a hab ich auch als größte Zahl 24
bei 3) steht ab der b) "Berechnung der Quadratwurzel" -> k=2
Vorher sollte man das wohl allgemeine k machen. Ich denke aber nicht dass man die Allgemeine Iteration fürs Newton-Verfahren herleiten soll (das würde wohl explizit dastehen), sondern die allgemeine Formel auf dieses Problem anwenden soll.
d) Wie kommst du darauf, dass nur die Regula-Falsi möglich ist? Hab keine Ahnung woran man erkennt was möglich ist (Außer dass die Fkt. für Newton ableitbar und x in der Ableitung bleiben muss)
bei 4 b) komm ich auf b3 = -1 und dadurch auf p3(x=1) = 7: [x3,x2] = 0 ; [x3,x2,x1]=(0-8)/(-2-0)=4 -> im Divisor immer x-Werte ; [x3,x2,x1,x0] = (4-3)/(-2-(-1))=-1
bei 5b hab ich was ganz anderes (siehe Anhang)

[Butterkeks]

Hey,
Ich habe mal noch versucht Regula-Falsi, Newton-Verfahren und das Eulersche Polynomzugverfahren möglichst einfach herzuleiten. Was denkt Ihr was man unter Umständen noch herleiten können müsste?

[EDIT]: Jetzt auch mit der Herleitung der Lösungsmatrix für die Ausgleichsrechnung.

[p.parazzi]

Bei Aufgabe 6 ist die f(1), nicht f(2) gegeben. Ist das ein Fehler in der Klausur oder echt so gemeint? Habe keine ahnung wie das funktionieren soll wenn der gegebene Wert keine Stützstelle ist..

Ich bin von nem Fehler beim setzen der pdf ausgegangen. Anders sehe ich keinen Weg.

bei 2a hab ich auch als größte Zahl 24

Hier habe ich ausversehen die Mantissenstellen multipliziert. Danke.

bei 3) steht ab der b) "Berechnung der Quadratwurzel" -> k=2
Vorher sollte man das wohl allgemeine k machen. Ich denke aber nicht dass man die Allgemeine Iteration fürs Newton-Verfahren herleiten soll (das würde wohl explizit dastehen), sondern die allgemeine Formel auf dieses Problem anwenden soll.

Das "Quadratwurzel" hab ich schlichtweg überlesen. Danke. Damit is bei mir b) die Lösung für a).

d) Wie kommst du darauf, dass nur die Regula-Falsi möglich ist? Hab keine Ahnung woran man erkennt was möglich ist (Außer dass die Fkt. für Newton ableitbar und x in der Ableitung bleiben muss)

Was das einzige was mir eingefallen ist. Man kann quasie alles hinschreiben.

bei 5b hab ich was ganz anderes (siehe Anhang)

Tipp: So wie ich den Prof/sein Team einschätze, kommst du mit solch einem knappen Lösungsweg in der Klausur nicht gut weg.
Aber auch hier hab ich wieder nen Schusselfehler drin. Aber "ganz anders" ist es nicht.

Was denkt Ihr was man unter Umständen noch herleiten können müsste?

Ich könnte mir vorstellen, dass es sinnvoll ist die Herleitung zur Matrix für die Ausgleichsrechnung zu können.

Denkt auch dran, dass nix auf eurem Zettel wie ne Lösung aussieht. Meinen hat er letztes Semester mit nem dicken roten Stempel (Ja er hat sich echt nen Stempel dafür machen lassen) markiert und eingesammelt.

Hier gehts weiter:

Loesungsvorschlag_WS13-14.pdf

auch hier is die Lösung von der 4b wieder totaler Quatsch. Zu blöd zum Wurzeln ziehen h=1/30 N=10 ist wahrscheinlich richtig.
Morgen mehr... aber ne Grippe hat mich derbst lahm gelegt.

[p.parazzi]

Loesungsversuch_WS14-15.pdf

Offene Fragen hierzu:
- Kann man bei 1d) echt schon von numerischer Instabilität reden?
- 2c) ist ohne d natürlich doof. In der Wiederholerklausur wars jedoch gegeben. Ich denke also Abtippfehler.
- 4. Gibt es eine Vorwärtsdifferenz mit 3 Stützpunkten?! Ich dachte das nennt man dann Zentraldifferenz.
- 5. Wie ist es möglich alpha ohne Determinante zu bestimmen?

[p.parazzi]

- 4. Gibt es eine Vorwärtsdifferenz mit 3 Stützpunkten?! Ich dachte das nennt man dann Zentraldifferenz.

Gerade gefunden. Ja gibt es tatsächlich. Keine Ahung wo ich das her habe... in meinen Unterlagen gefunden:

Herleitung_Vorwaertsdifferenz_auf_3_Stuetzstellen.pdf

[JoRocky]

Heute in der Wiederholungsklausur, waren eig alle Aufgaben bekannt, bzw. sind hier schon mal in irgendeiner Form aufgetaucht.

1. Wie in Klausur von WS 2018, bloß mit y = x_1 * x_2

2. 1/d (d >1) auf Rechenmaschine bestimmen, die keine Division kann. Soll mithilfe des Intervallschachtelungsverfahrens genähert werden.
- Funktion f(x) für Iteration Herleiten.
- sinnvolles, möglichst kleines Startintervall angeben und zeigen, das genau eine NS in dem Intervall liegt
- ersten 2 Schritte der Iteration durchführen
- kann die Funktion auch mit anderen Verfahren genähert werden, wenn ja mit welchen?

3. Ne newton Interpolation mit 3 Stützstellen + Funktionswert an Stelle 0.
- dann noch eine weiter Stützstelle hinzugefügt und Frage: Welchen grad hat Polynom mit der weiteren Stützstelle?

4. zweite Ableitung mit 3 Stützstellen über Rückwärtsdifferenz herleiten und Größenordnung des Fehlerterms angeben.

5. LU zerlegung. 2x2 Matrix wieder mit nem alpha drin
- L matrizen und U Matrix berechnen
- x berechnen
- für welche alpha kann ein Rechner das Ergebnis nicht berechnen. Wie lässt sich das feststellen ohne das die Determinante von A berechnet werden muss.

6. Matrix A element R^(nxn) und vektor v element R^n. Zeige das Spaltensummennorm ||A||_1 und Betragssummennorm ||x||_1 verträglich sind.

7. Differntialgleichung u''(x) + k^2 * u(x) = 0 mithilfe zentraler Differenzen auf Intervall I = [a,b] nähern.
- h = 2/3, a = 0, b = 2, u(0) = -1, u(2) = 1,
- Zusammenhang zw. Schrittweite und stützstellen geben
- noch iwas...
- dann halt berechnen mit k = 3
- wie viele Unbekannte gibt es, wenn h = 1/8

8. Summierte 3/8 Regel
- Ausdruck herleiten, allgemein für integral von a nach b über f(x)
- Anzahl schritte bei f(x) = e^(-3x), a = 0, b = 1, wenn Fehler <= 1/8 * 10^(-5)

Joa. Das wars. Bin in der reihenfolge 'n bissl durcheinander gekommen, was aber letztendlich auch egal ist.

[E.Technik]

Hey, die heutige Klausur mal als PDF-Dokument. Die Zahlenwerte sind mit Vorsicht zu genießen (bei Aufgabe 3), ebenso wie die Punkteverteilung.
Wenn jemand sich noch etwas genauer erinnert, bitte PN an mich damit ich entsprechende Änderungen vornehmen kann.

[Naubi]

Grüßt euch,

nachdem ich mir nun alle möglichen Vorlesungsmitschriften, Übungsmitschriften und Klausuren durchgelesen habe, fehlt mir nur noch die Herleitung der 3/8 Regel. Wisst ihr, wo ich Näheres dazu finden kann?

Zum Thema Verträglichkeit der Betragssummennorm mit der Spaltensummennorm habe ich im Buch "Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens" etwas gefunden. Wo genau wurde das in der Vorlesung / Übung erwähnt? Ich frage nur, weil ich mir noch etwas unsicher bin.

Liebe Grüße

[Leirbag]

Die Herleitung macht man über die Newton-Cotes-Formel in dem du das n bzw. die Anzahl der Terme variierst

[bennijamin]

Ein paar Aufgaben der WS 2018/19er aus dem Gedächtnis niedergeschrieben.
Verbesserungsvorschläge bitte gerne schreiben.

[KVothe33]

Klausur von heute war ähnlich WS 2019
1) Fehlerrechnung: f(x)=sqrt(x_1 + x_2)
a) absoluten Fehler berechnen
b) relativen Fehler berechnen
c) Empfindlichkeit berechnen. Wann ist das Problem empfindlich?
d) Kondition berechnen. Wann ist das Problem schlecht konditioniert?

2) Intervallschachtelungsverfahren f(x)=1+exp(-x), g(x)=1+x schnittpunkt berechnen, genau wie Klausur WS19 Aufgabe 2

3) Newton Polynom aufstellen: Stützstellen gegeben (-3,14) (-1,2) (1,-2) und Wert ausrechnen für f(3)

4) 2. Ableitung der Rückwertsdifferenz mit Talyor herleiten und 3 Stützstellen. (siehe Übung 5.5)

5) Matrix gegeben: A=( 1 , alpha; 2 , 1) b=( 1; 0 ) x=( x_1 ; x_2)
a) LU-Zerlegung von A
b) Lösung des Gleichungssystems A x = b
c) für welches alpha ist A nicht lösbar? wie kann man auf Lösbarkeit prüfen ohne die Determinante von A zu berechnen?

6) Regressionsgerade
a) Ausgleichsgerade Grad 1 aufstellen für folgende Werte: (0,1) (1,-1) (2,-2) (3,2)
b) Residuenvektor aufstellen und ||r||_2 Norm berechnen

7) Integralrechnung
Quadraturformel gegeben und max Grad der exakt integrierbaren Funktion bestimmen
Q(f)=c*( f( (2a+b)/3 ) + f( (a+2b)/3 ) )
c bestimmen

8) Vertäglichkeit von Normen
Beweisen, dass Spaltensummennorm und Betragssummennorm verträgliche Normen sind

Vielleicht findet sich ja jemand, der das ganze in Latex gießen will.

[bennijamin]

Ich habs mal in ein Dokument geschrieben. Hatte ja noch die Vorlage vom letzten mal.
Punkteverteilung stimmt. Wichtig ist, bei der Aufgabe 3 wirklich Existenz und Eindeutigkeit zu zeigen und immer schön fleißig Antwortsätze bzw. die Schlussfolgerung mit hinzuschreiben.

[yhfederer]

kann jemand ein Gedächtnisprotokoll zur Klausur numerische Mathematik WiSe 19-20 hochladen?
Danke vielmals

[Kartoffelpuffer]

Keine Gewähr auf Vollständigkeit und Richtigkeit.

Gedächtnisprotokoll zur Klausur Numerische Mathematik
Nachschreiber-Termin SoSe 20.07.2020
Modul: Numerische Mathematik
Dauer: 120 Minuten

Aufgabe 1:

Fehlerrechnung: f(x)=sqrt(x_1 + x_2)

a) absoluten Fehler berechnen
b) relativen Fehler berechnen
c) Empfindlichkeit berechnen. Wann ist das Problem empfindlich?
d) Kondition berechnen. Wann ist das Problem schlecht konditioniert?

Aufgabe 2:

a) Herleitung der 2. Ableitung der Rückwärtsdifferenz
b) Welchen Grad hat der Fehlerterm?

Aufgabe 3:

a) Herleitung der summierten 3/8-Regel
b) und die gegebene Funktion über die integriert werden sollte, war: f(x) = exp(-3x) in den Grenzen I = [0,1] und der Fehler sollte höchstens 1/8*10^-5 betragen
c) Schrittweite h berechnen und Anzahl der Teilintervalle angeben

Aufgabe 4

Gegeben sind 3 Stützupunkte mit Funktionswerten als Tabelle

a) LAGRANGE-Polynom ausrechen, welchen Grad hat das Polynom?
b) Zusätzlich kommt noch ein weiterer Stützpunkt (x,y) hinzu. Welchen Grad muss das (evtl. neue) LAGRANGE-Polynom besitzen? (also zuerst IPB prüfen, bevor ihr alles neu ausrechnet!)

Aufgabe 5:

Gegeben:
A = ( 1 , 1 ; alpha , 1 )
x = ( x_1 ; x_2 )
b = ( 1 ; 0 )

a) L- und U-Matrix berechnen (also nach Gauss-Verfahren)
b) Lösung des Gleichungssystems Ax = b und bestimmen
c) für welches alpha das Gleichungssystem nicht gelöst werden kann und begründen.

Aufgabe 6:

Rechner, der nur Multiplikation, Addidion und Division kann -> Kehrwert einer Zahl (d>1) berechnen

a) Formel aufstellen für Intervallschachtelungsverfahren aufstellen
b) Startintervall suchen (Ergebnis I=[0,1])
c) 2 Iterationsschritte mit Intervallschachtelungsverfahren berechnen
d) Fehler mit Abschätzungsformel abschätzen
e) Gibt es noch weitere Verfahren, wenn ja, welche?

Aufgabe 7:

DGL - u''+k*u=0; k=3; I=[0,2], h=2/3 Anfangsbedingungen waren auch gegeben (bin mir bei der DGL nicht mehr sicher, ob das die war)
keine Herleitung erforderlich (da ja schon in Aufgabe 2 gemacht)

a) Zusammenhang zwischen Stützstellen und Schrittweite erklären (also "x-Achse" skizzieren mit Randwerten)
b) GLS lösen (mit beliebigem Verfahren)
c) feinere Schrittweite gegeben -> wieviele Unbekannte müssen gelöst werden?

Achtung: Gebt euch bitte Mühe bei der Erstellung des Formelzettels. Keine Herleitungen mit drauf schreiben (also auch nicht so etwas einfaches wie bei der LU-Zerlegung A=LU; L=...; U=... (auch wenn es in der VL und nicht in der Übung kam), oder Beispieltabelle für das Newton-IP-Verfahren etc., Herleitung Regula-falsi etc.), besser ihr merkt euch einfach sowas und zeigt dem Übungsleiter vor der Klausur nochmal den Zettel und sprecht ihn auch auf Dinge auf den Zettel an, wo ihr euch unsicher seid. Ich konnte einige sehen, welche genau wegen solchem Pillepalle dann einen roten Stempel bekommen, kann jedoch nichts dazu sagen, ob die dem Übungsleiter auch vorher den Zettel gezeigt hatten. Der Formelzettel dient ja im Prinzip auch nur für das Lernen und das intensive Auseinandersetzen mit dem Stoff, man benötigt ihn (theoretisch) gar nicht in der Klausur.

[DerMoench]

Hier mein Gedächtnisprotokoll der heutigen NuMa Klausur:

1. Aufgabe Lagrange Interpolation
a) 3 Stützpunkte gegeben, f(0) bestimmen
b)4 Stützpunkte Grad des entstehen Polynoms bestimmen

2. Aufgabe Maschinenzahlen
a) alle Elemente + Dezimalzahlen und Eintragung auf Zahlenstrahl, M(3,2,0,1) Mächtigkeit
b) wie verändern sich die Zahlen wenn t, e variieren?

3.Aufgabe
f(f1(x1,x2),(x1,x2))
Newton Iterationsvorschrift und erste Iteration ermitteln

4.
Herleitung der Rückwärtsdifferenz zweiten Grades

5.
Beweis Betragssummennorm und Maximumsnorm? sind auf K äquivalent

6.
gegeben I(f) = integral[b,a,f(x)]dx und Quadratur Gamma(....)
hier sollte die Genauigkeit bestimmt werden aber

7.
Ax=b
4x4 Matrix
Jacobi Iterationsvorschrift in Matrix Schreibweise
überprüfen ob es für iterative Lösung geeignet ist
2 Verständnis Fragen
Gauß Seidel Verfahren

8.
Regressionsgerade für Funktion 2 Grades ausrechnen und Residuen Vektor angeben

zeitlich sehr knapp bemessen, und aufgabentechnisch schon recht anspruchsvoll
das war zumindest mein Eindruck

[NETakteur]

zu 3)
Aus seinem Skript, im Punkt "2.9 - Newton-Verfahren für Systeme von nichtlinearen Gleichungen" gibt es unter dem Beispiel 2.9.1) genau die Aufgabe, die das war. Evtl sind die funktionen bisschen anders, aber genau das Prinzip.

f(x) = (f1(x),f2(x)) !=
f1(x)=6x_1 − cos(x_1) − 2x_2
f2(x)=8x_2 − x_1*x_2^2 − sin(x_1)

Gesucht ist das Newton verfahren im Mehrdimenstionalen, was beide Funktionen einbezieht um x zu finden, bei dem f(x) = 0.
Bezieht Jacobi Matrix mit ein.

zu 5)
Ich glaube ungefähr so:
V sei definiert auf K^n, K sei Komplexe oder Reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass die Betragssummennorm und Maximalnorm von V äquivalente Normen sind.

zu 6)
Integral von a bis b über f(x) berechnen mithilfe einer gegebenen Quadraturformel. Die war glaube ich:
Q(f) = k(f((3a+b)/2) + f((a+3b)/2))
Bestimmen sollte man k so, dass der Genauigkeitsgrad der Quadraturformel maximal wird und diesen Grad angeben. Spielt glaube an auf
5.4 Gaußsche Quadraturformeln. In dem Kapitel wird auch auf Legendre Polynome eingegangen, dass sollte man beides verstanden haben. Hatte ich nicht